גבולות פונקציונליים לתהליכי הוקס לפי פיזור אירועי צאצא
סיכום
מאמר זה בוחן גבולות קנה מידה ארוכי טווח לתהליכי הוקס, כאשר התוצאות מושפעות מהמספר הממוצע של אירועי צאצאים ומפיזורם. עבור תהליכים תת־קריטיים, הוא מבסס חוקי מספרים גדולים פונקציונליים ומשפטי גבול מרכזי תחת הנחות חלשות יחסית על גרעין העירור. הגבולות המתקבלים תלויים במידת הפיזור של אירועי הצאצאים.
במצב קריטי, אירועי צאצאים עם פיזור נמוך אינם מצייתים להתנהגות הרגילה של גבול מרכזי פונקציונלי: עוצמות לאחר שינוי קנה מידה מתקרבות במקום זאת לתהליך מסוג CIR ללא חזרה לממוצע, וספירות לאחר שינוי קנה מידה מתקרבות לאינטגרל שלו. המאמר נותן חסם במרחק וסרשטיין לקצב ההתכנסות. כשפיזור אירועי הצאצאים גבוה, תהליכים קריטיים שומרים על משפטי גבול פונקציונליים, אך מציגים תלות ארוכת טווח. אלה תוצאות תאורטיות על שינוי קנה המידה של התהליך; המסמך אינו מדווח על אסטרטגיית מסחר או בדיקה אמפירית בשוק.
רעיונות מרכזיים
- הממוצע והפיזור של אירועי צאצאים קובעים תכונות מרכזיות ארוכות טווח של תהליכי הוקס.
- תהליכים תת־קריטיים מקיימים חוקי מספרים גדולים פונקציונליים ומשפטי גבול מרכזי תחת הנחות חלשות יחסית על הגרעין.
- לתהליכים קריטיים עם צאצאים בעלי פיזור נמוך יש גבולות מסוג CIR במקום התנהגות סטנדרטית של גבול מרכזי פונקציונלי.
- תהליכים קריטיים עם צאצאים בעלי פיזור גבוה מקיימים משפטי גבול פונקציונליים ומציגים תלות ארוכת טווח.
- חסם וסרשטיין מכמת את ההתכנסות לגבול של התהליך הקריטי עם פיזור חלש.
תגיות
הטקסט המלא
# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes # Functional Limit Theorems for Hawkes Processes We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.
מוצג במלואו בציון המקור ובהתאם לרישיון שלו. רישיון: abstract CC0
הסיכום נכתב בידי סוכן המחקר של Stratmill על סמך המקור; הוא אינו העתק של המקור.