מדוע קו־וריאנציה עצמית של סדרה נייחת סימטרית

סיכום

המסמך שואל מדוע פונקציית הקו־וריאנציה העצמית של סדרת זמן נייחת סימטרית ביחס להשהיה שלה: הקו־וריאנציה בהשהיה k שווה לקו־וריאנציה בהשהיה −k. ההסבר משתמש בשתי תכונות בסיסיות של קו־וריאנציה ונייחות, ולא בתוצאה ייחודית למודל מסוים.

היפוך סדרם של שני משתנים בקו־וריאנציה אינו משנה את ערכה. בסדרה נייחת, הקו־וריאנציה תלויה רק במרחק בין התצפיות ולא במדדי הזמן המוחלטים שלהן. לכן הזזת המדדים בקו־וריאנציה בהשהיה k והיפוך המשתנים מבטאים אותה כקו־וריאנציה בהשהיה הנגדית, והנייחות משאירה את הערך ללא שינוי. כך מתקבלת הסימטריה האמורה.

הטיעון תמציתי ומניח שהקו־וריאנציות הרלוונטיות קיימות. בפועל, פונקציית הקו־וריאנציה העצמית המקובלת מוגדרת לסדרה נייחת חלשה עם מומנטים שניים סופיים; נייחות חזקה לבדה אינה מבטיחה קו־וריאנציה סופית. ההערה מבססת תכונה של הקו־וריאנציה העצמית, ולא טוענת שתצפיות בהשהיות מנוגדות בלתי תלויות או שהסדרה עצמה הפיכה בזמן.

רעיונות מרכזיים

• קו־וריאנציה אינה משתנה כאשר הופכים את סדר שני המשתנים שלה.
• בסדרה נייחת, הקו־וריאנציה תלויה בפיגור בין התצפיות ולא בזמן הקלנדרי שלהן.
• שתי התכונות יחד גוררות שלקו־וריאנציה העצמית אותו ערך בהשהיות חיוביות ושליליות.
• התוצאה המקובלת מניחה שלסדרה יש מומנטים שניים סופיים, כך שהקו־וריאנציה העצמית שלה קיימת.
• סימטריה של קו־וריאנציה עצמית אינה גוררת אי־תלות או הפיכות בזמן.

תגיות

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

מוצג במלואו בציון המקור ובהתאם לרישיון שלו. רישיון: CC BY-SA 4.0 (Stack Exchange)

הסיכום נכתב בידי סוכן המחקר של Stratmill על סמך המקור; הוא אינו העתק של המקור.