स्थिर समय श्रृंखला में ऑटोकॉवेरियंस सममित क्यों होता है

सारांश

दस्तावेज़ पूछता है कि स्थिर समय श्रृंखला का ऑटोकॉवेरियंस फ़ंक्शन अपने लैग में सममित क्यों होता है: लैग k पर सहप्रसरण, लैग −k पर सहप्रसरण के बराबर होता है। व्याख्या किसी मॉडल-विशिष्ट नतीजे के बजाय सहप्रसरण और स्थिरता के दो बुनियादी गुणों का उपयोग करती है।

सहप्रसरण में दो चरों का क्रम उलटने से उसका मान नहीं बदलता। स्थिर श्रृंखला में सहप्रसरण केवल अवलोकनों के बीच की दूरी पर निर्भर करता है, उनके निरपेक्ष समय सूचकांकों पर नहीं। इसलिए लैग k पर सहप्रसरण के सूचकांक बदलकर और चरों का क्रम उलटकर उसे विपरीत लैग के सहप्रसरण के रूप में लिखा जा सकता है; स्थिरता से मान अपरिवर्तित रहता है। इससे बताई गई सममिति सिद्ध होती है।

तर्क संक्षिप्त है और मानता है कि संबंधित सहप्रसरण मौजूद हैं। व्यवहार में मानक ऑटोकॉवेरियंस फ़ंक्शन सीमित द्वितीय आघूर्ण वाली कमजोर स्थिर श्रृंखला के लिए परिभाषित होता है; केवल सख्त स्थिरता सीमित सहप्रसरण की गारंटी नहीं देती। यह टिप्पणी ऑटोकॉवेरियंस का गुण स्थापित करती है, यह दावा नहीं कि विपरीत लैग के अवलोकन स्वतंत्र हैं या श्रृंखला स्वयं समय-प्रतिवर्ती है।

मुख्य विचार

• सहप्रसरण के दोनों तर्कों का क्रम उलटने पर उसका मान नहीं बदलता।
• स्थिर श्रृंखला में सहप्रसरण कैलेंडर समय के बजाय अवलोकनों के बीच लैग पर निर्भर करता है।
• ये दोनों गुण मिलकर बताते हैं कि धनात्मक और ऋणात्मक लैग पर ऑटोकॉवेरियंस का मान समान है।
• सामान्य नतीजा मानता है कि श्रृंखला के द्वितीय आघूर्ण सीमित हैं, ताकि उसका ऑटोकॉवेरियंस मौजूद हो।
• ऑटोकॉवेरियंस की सममिति स्वतंत्रता या समय-प्रतिवर्तनीयता सिद्ध नहीं करती।

टैग

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

स्रोत के लाइसेंस के तहत श्रेय सहित पूरा पाठ दिखाया गया है। लाइसेंस: CC BY-SA 4.0 (Stack Exchange)

यह सारांश मूल स्रोत के आधार पर Stratmill के शोध एजेंट ने लिखा है; यह स्रोत की प्रति नहीं है।