這是我最常被問到的問題，通常是剛完成第一個策略的人提出的：要做多少筆交易，結果才算是真的？ 通常問題裡還會附上一個數字：「我有 1,200 筆交易，這樣夠了吧？」而誠實的答案總讓大家不太高興，因為關鍵根本不在交易筆數。
先用一行公式說明全部，接著我會花整篇文章解釋它為什麼這麼刺耳。
Sharpe 比率的標準誤是什麼？
如果 Sharpe 是根據 n 個週期報酬計算，並假設報酬彼此獨立且大致呈常態分布，抽樣誤差為：
SE(s) ≈ √((1 + s²/2) / n)
其中 s 是以相同頻率衡量的 Sharpe。將等式兩邊年化後，就會得到一個簡潔的結果。若每年有 k 筆觀測值，資料長度為 T 年，年化 Sharpe S 的標準誤為：
SE(S) ≈ √((1 + S²/(2k)) / T)
看看分母裡的 2k。以日報酬來說，k = 252，所以即使 Sharpe 是 2，分子也只增加 4/504 ≈ 0.008。整個項會化簡為 1。年化 Sharpe 的標準誤約為 1/√T，其中 T 是日曆資料年數。它幾乎不受 Sharpe 本身影響，也不受取樣頻率影響，更完全不取決於你做了多少筆交易。
所以：
| 資料年數 | SE(Sharpe) | 若測得 1.5，則 95% CI 為 |
|---|---|---|
| 1 | 1.00 | −0.46 至 3.46 |
| 2 | 0.71 | 0.11 至 2.89 |
| 3 | 0.58 | 0.37 至 2.63 |
| 5 | 0.45 | 0.62 至 2.38 |
| 10 | 0.32 | 0.88 至 2.12 |
如果回測以 2 年歷史資料算出 Sharpe 1.5，在 95% 信心水準下，統計上無法證明它優於擲硬幣。這就是大多數加密貨幣研究的基本處境，因為多數人手上乾淨、修正存活者偏誤且費用準確的資料，大約從 2022 年才開始；而在 2023 年以前，半數有趣的交易標的都還不存在。
但我有 40,000 筆交易，這樣還不夠嗎？
不夠，而這正是我最想澄清的誤解。
交易筆數和樣本長度是不同的量，公式裡只用到其中一個。如果你的策略在 6 個月內觸發 40,000 次，那麼 T = 0.5，SE ≈ 1.41。若測得的 Sharpe 是 2.0，95% 區間會落在 −0.8 到 4.8 之間。做了 40,000 筆交易，誠實的結論仍然是「可能不錯，也可能是負報酬」。
原因在於，這 40,000 筆交易並不是對 40,000 種不同市場狀態下所下的 40,000 個獨立賭注。它們只是從大約 180 天的市場行為中抽出的 40,000 個樣本，而每天彼此相關，各市場體制內也互相關聯。一個每天都賺錢、持續 4 個月的高頻均值回歸投資組合，實際上只押了一件事——這種流動性環境下，短期反轉會持續有效——而這個賭注可能只經歷了少數幾次彼此獨立的驗證。
我用來提醒自己的想法是：計算市場體制，不要計算成交筆數。這個策略經歷過多少種真正不同的市場狀況？一個資金費率套利策略若只經歷過一段長期正基差時期，那它看到的 n = 1，無論記錄了多少次每小時再平衡都一樣。
快速檢查：將每日 P&L 以 20 天為區塊做區塊自助抽樣，觀察重抽樣 Sharpe 的分布。如果第 5 百分位數低於 0，交易筆數就無關緊要。用 numpy 大約 9 行程式碼就能完成；比起任何其他單一檢查，這方法勸退我的策略更多。
這個公式適用於真實策略嗎？
不完全適用，而且誤差方向對你不利。1/√T 的結果假設報酬為 IID 常態分布。真實策略的報酬具有自我相關性和偏態，而類似套利、放空波動率或均值回歸的策略通常都有負偏態。Mertens 修正式會把這些動差納入：
SE(s) ≈ √((1 + s²/2 − γ₃·s + (γ₄−3)·s²/4) / n)
其中 γ₃ 是偏態，γ₄ 是峰度。負偏態會讓 −γ₃·s 項變成正值，進而擴大區間。超額峰度則會進一步擴大區間。以偏態約 −1.2、峰度約 9 的典型加密貨幣套利 P&L 來說，我看過修正後的標準誤比簡化估計高出 30–40%。Lo 在 2002 年的論文處理了自我相關的部分，影響方向也一樣：報酬的正序列相關會讓簡化計算高估 Sharpe、低估表面上的誤差，兩者同時出現相當棘手。
所以，把 1/√T 當成不確定性的下限。這是最理想的情況。
如果我測試了 500 個變體，Sharpe 得多高才夠？
接下來要談的是對任何執行自動化研究流程的人都很重要的部分；這也是我們在 Stratmill 每天面對的情況：生成代理不只產生一個候選策略，而是會產生數百個。
從標準常態分布抽取 M 次，其最大值的期望大約是 √(2 ln M)。乘上標準誤，就能得到 M 個真正毫無價值的策略中，運氣最好的那個會呈現的 Sharpe。
| 測試策略數 | √(2 ln M) | 5 年期間最佳雜訊 Sharpe（SE 0.45） | 2 年期間最佳雜訊 Sharpe（SE 0.71） |
|---|---|---|---|
| 10 | 2.15 | 0.96 | 1.52 |
| 100 | 3.03 | 1.36 | 2.16 |
| 500 | 3.53 | 1.58 | 2.50 |
| 5,000 | 4.13 | 1.85 | 2.93 |
看倒數第二列。如果你用 2 年資料生成了 500 個候選策略，結果勝出的策略 Sharpe 是 2.4，那你其實什麼也沒找到。這低於雜訊底線。Bailey 和 López de Prado 提出的 deflated Sharpe，會用試驗 Sharpe 的變異數取代粗略的 √(2 ln M) 來正式處理這個問題；值得妥善實作，但光是粗略版本就足以讓你今天改變做法。
有兩件事會讓情況比表格顯示的更糟。第一，M 不是你存下來的策略數，而是你評估過的數量，包括每次參數微調、每次「我再試試 30 期回看窗口」、每次修好錯誤後重新執行。沒有人會老實計數。第二，候選策略並非彼此獨立的抽樣，因此 √(2 ln M) 會高估有效廣度；不過，相關試驗也表示，單一幸運市場體制會讓整個策略群一起受惠。
量化研究中最危險的數字，是從來沒人記錄的那個：你看過結果幾次。
那我實際上該怎麼做？
有 5 件事，依照我會採取的順序排列。
- 記錄每次評估。每次執行回測就增加計數、持續保存，永不歸零。如果你說不出 M 是多少，就無法說出門檻是多少。這是整份清單中工程投入價值最高的一小時。
- 永遠連同區間一起回報 Sharpe。不要只印出一個數字。我們的回測報告會輸出
1.72 ± 0.51 (2.9y, skew-adjusted)，± 的部分不能省略。這會改變整個團隊討論結果的方式。 - 在查看結果前，依據 M 和 T 設定門檻。從上表找出數字並先寫下來。事後才訂門檻，就是大家說服自己接受曲線擬合的方式。
- 樣本不足時，優先增加廣度，而非頻率。你無法憑空增加日曆時間，但可以讓同一訊號套用在 40 個不相關的交易標的上。這確實能提高有效 n，增加交易頻率則辦不到。不過要留意相關性——在避險情緒升高的時段，40 個加密貨幣永續合約其實就像同一個工具。
- 接著用模擬交易驗證。樣本外時間每天只會累積一天，沒有捷徑；也正因如此，這是唯一沒有人能過度擬合的樣本。
這些做法都不能讓短樣本變得可用，只能讓你誠實面對短樣本能支持什麼結論；這比大多數回測報告暗示的主張弱得多。2 年 Sharpe 1.5 是值得用模擬交易驗證的假設，不是研究發現。
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