정상 시계열 자기공분산의 대칭성

요약

이 문서는 정상 시계열의 자기공분산 함수가 시차에 대해 대칭인 이유, 즉 시차 k의 공분산이 시차 −k의 공분산과 같은 이유를 묻습니다. 설명은 특정 모델의 결과가 아니라 공분산과 정상성의 기본 성질 두 가지를 사용합니다.

공분산의 두 변수 순서를 바꾸어도 값은 같습니다. 정상 시계열에서 공분산은 절대적인 시간 인덱스가 아니라 관측값 사이의 간격에만 좌우됩니다. 따라서 시차 k 공분산의 인덱스를 옮기고 변수 순서를 바꾸면 반대 시차의 공분산으로 표현할 수 있으며, 정상성에 의해 값은 변하지 않습니다. 이로써 명시된 대칭성이 성립합니다.

이 논증은 간결하며 관련 공분산이 존재한다고 가정합니다. 실제로 표준 자기공분산 함수는 유한한 2차 모멘트를 가진 약정상 시계열에 대해 정의됩니다. 엄격한 정상성만으로 유한한 공분산이 보장되지는 않습니다. 이 노트는 자기공분산의 성질을 설명할 뿐, 반대 시차의 관측값이 독립적이거나 시계열 자체가 시간 가역적이라고 주장하지 않습니다.

핵심 아이디어

• 공분산의 두 인수를 바꾸어도 값은 변하지 않습니다.
• 정상 시계열에서 공분산은 달력 시간이 아니라 관측값 사이의 시차에 따라 달라집니다.
• 이 두 성질을 결합하면 양의 시차와 음의 시차에서 자기공분산 값이 같다는 결론이 나옵니다.
• 일반적인 결과는 자기공분산이 존재하도록 시계열의 2차 모멘트가 유한하다는 전제를 둡니다.
• 자기공분산의 대칭성이 독립성이나 시간 가역성을 뜻하지는 않습니다.

태그

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

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