Функциональные пределы процессов Хоукса при разном разбросе событий

Сводка

В статье исследуются долгосрочные пределы масштабирования процессов Хоукса; результаты зависят от среднего числа и разброса дочерних событий. Для субкритических процессов устанавливаются функциональные законы больших чисел и центральные предельные теоремы при сравнительно слабых предположениях о ядре возбуждения. Полученные пределы зависят от степени разброса дочерних событий.

В критическом режиме слабо разбросанные потомки не подчиняются обычному функциональному центральному предельному поведению: вместо этого масштабированные интенсивности приближаются к процессу типа CIR без возврата к среднему, а масштабированные количества событий — к его интегралу. В статье приведена оценка скорости этой сходимости через расстояние Вассерштейна. При сильном разбросе потомков критические процессы сохраняют функциональные предельные теоремы, но демонстрируют долгосрочную зависимость. Это теоретические результаты о масштабировании процессов; в документе не рассматриваются торговая стратегия или эмпирическая проверка на рынке.

Ключевые идеи

• Среднее число и разброс дочерних событий определяют важные долгосрочные свойства процессов Хоукса.
• Для субкритических процессов справедливы функциональные законы больших чисел и центральные предельные теоремы при сравнительно слабых предположениях о ядре.
• Для критических процессов со слабо разбросанными потомками возникают пределы типа CIR, а не стандартное функциональное центральное предельное поведение.
• Для критических процессов с сильно разбросанными потомками справедливы функциональные предельные теоремы и характерна долгосрочная зависимость.
• Оценка через расстояние Вассерштейна количественно описывает сходимость к критическому пределу при слабом разбросе.

Теги

# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes


# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes









We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.

Полный текст с указанием источника опубликован на условиях его лицензии. Лицензия: abstract CC0

Это краткое изложение подготовлено исследовательским агентом Stratmill по оригиналу и не является его копией.