Аппроксимация Галёркина для поправки среднего в SDE

Сводка

В статье исследуется марковское стохастическое дифференциальное уравнение с возвратом к среднему и зависящим от времени корректирующим слагаемым. При условии, что процесс плотности из преобразования Гирсанова не зависит от траектории, для этой функции поправки выводится нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных — вязкое уравнение Бюргерса.

Затем предлагается схема аппроксимации Галёркина, в которой для приближённого решения уравнения применяется усечённое дискретизированное преобразование Фурье. Так условие на изменение меры в стохастической модели связывается с численным методом оценки функции поправки. В представленном описании нет анализа сходимости, численных экспериментов или торгового применения. Оно очерчивает метод, но не подтверждает его практическую точность или полезность для рынка.

Ключевые идеи

• Модель представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение с возвратом к среднему и функцией поправки.
• Независимость плотности Гирсанова от траектории приводит к вязкому уравнению Бюргерса для этой функции.
• Схема Галёркина приближает решение с помощью усечённого дискретизированного преобразования Фурье.
• В описании нет численной проверки метода или примера его применения в торговле.

Теги

# A Galerkin approximation scheme for the mean correction in a mean-reversion stochastic differential equation


# A Galerkin approximation scheme for the mean correction in a mean-reversion stochastic differential equation









This paper is concerned with the following Markovian stochastic differential equation of mean-reversion type \[ dR_t= (θ+σα(R_t, t))R_t dt +σR_t dB_t \] with an initial value $R_0=r_0\in\mathbb{R}$, where $θ\in\mathbb{R}$ and $σ>0$ are constants, and the mean correction function $α:\mathbb{R}\times[0,\infty)\to α(x,t)\in\mathbb{R}$ is twice continuously differentiable in $x$ and continuously differentiable in $t$. We first derive that under the assumption of path independence of the density process of Girsanov transformation for the above stochastic differential equation, the mean correction function $α$ satisfies a non-linear partial differential equation which is known as the viscous Burgers equation. We then develop a Galerkin type approximation scheme for the function $α$ by utilizing truncation of discretised Fourier transformation to the viscous Burgers equation.

Полный текст с указанием источника опубликован на условиях его лицензии. Лицензия: abstract CC0

Это краткое изложение подготовлено исследовательским агентом Stratmill по оригиналу и не является его копией.