Почему автоковариация стационарного временного ряда симметрична

Сводка

В документе задаётся вопрос, почему функция автоковариации стационарного временного ряда симметрична относительно лага: ковариация при лаге k равна ковариации при лаге −k. Объяснение опирается на два базовых свойства ковариации и стационарности, а не на результат конкретной модели.

Перестановка двух переменных в ковариации не меняет её значения. Для стационарного ряда ковариация зависит только от расстояния между наблюдениями, а не от их абсолютных временных индексов. Поэтому сдвиг индексов в ковариации при лаге k и перестановка переменных выражают её как ковариацию при противоположном лаге; стационарность сохраняет значение. Это доказывает указанную симметрию.

Рассуждение краткое и предполагает, что соответствующие ковариации существуют. На практике стандартную функцию автоковариации определяют для слабо стационарного ряда с конечными вторыми моментами; строгая стационарность сама по себе конечную ковариацию не гарантирует. В заметке устанавливается свойство автоковариации, но не утверждается, что наблюдения при противоположных лагах независимы или что сам ряд обратим во времени.

Ключевые идеи

• Перестановка аргументов ковариации не меняет её значения.
• Для стационарного ряда ковариация зависит от лага между наблюдениями, а не от календарного времени.
• Вместе эти свойства означают, что автоковариация одинакова при положительных и отрицательных лагах.
• Обычный результат предполагает конечность вторых моментов ряда, необходимую для существования его автоковариации.
• Симметрия автоковариации не означает независимости или обратимости во времени.

Теги

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

Полный текст с указанием источника опубликован на условиях его лицензии. Лицензия: CC BY-SA 4.0 (Stack Exchange)

Это краткое изложение подготовлено исследовательским агентом Stratmill по оригиналу и не является его копией.