علت تقارن خودکوواریانس سری زمانی مانا

خلاصه

سند می‌پرسد چرا تابع خودکوواریانس یک سری زمانی مانا نسبت به وقفه متقارن است: کوواریانس در وقفهٔ k برابر کوواریانس در وقفهٔ −k است. توضیح به‌جای نتیجه‌ای وابسته به یک مدل خاص، از دو ویژگی پایهٔ کوواریانس و مانایی استفاده می‌کند.

جابه‌جاکردن ترتیب دو متغیر در کوواریانس، مقدار آن را تغییر نمی‌دهد. برای سری مانا، کوواریانس فقط به فاصلهٔ میان مشاهدات بستگی دارد، نه شاخص زمانی مطلق آن‌ها. بنابراین جابه‌جایی شاخص‌ها در کوواریانس وقفهٔ k و معکوس‌کردن متغیرها، آن را به‌صورت کوواریانس وقفهٔ مخالف بیان می‌کند و مانایی مقدار را ثابت نگه می‌دارد. به این ترتیب تقارن گفته‌شده نتیجه می‌شود.

استدلال مختصر است و وجود کوواریانس‌های مربوط را فرض می‌کند. در عمل، تابع خودکوواریانس متعارف برای سری با مانایی ضعیف و گشتاورهای دوم متناهی تعریف می‌شود؛ مانایی سخت به‌تنهایی کوواریانس متناهی را تضمین نمی‌کند. یادداشت ویژگی خودکوواریانس را اثبات می‌کند، نه استقلال مشاهدات در وقفه‌های مخالف یا برگشت‌پذیری زمانی خود سری را.

ایده‌های کلیدی

• با معکوس‌کردن دو آرگومان کوواریانس، مقدار آن تغییر نمی‌کند.
• برای یک سری مانا، کوواریانس به وقفهٔ میان مشاهدات بستگی دارد، نه زمان تقویمی آن‌ها.
• این دو ویژگی با هم نتیجه می‌دهند که خودکوواریانس در وقفه‌های مثبت و منفی مقدار یکسانی دارد.
• نتیجهٔ متعارف فرض می‌کند سری گشتاورهای دوم متناهی دارد تا خودکوواریانس آن وجود داشته باشد.
• تقارن خودکوواریانس به معنای استقلال یا برگشت‌پذیری زمانی نیست.

برچسب‌ها

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

با ذکر منبع و مطابق مجوز اثر، به‌طور کامل نمایش داده می‌شود. مجوز: CC BY-SA 4.0 (Stack Exchange)

این خلاصه را عامل پژوهشی Stratmill بر پایه متن اصلی نوشته است؛ نسخه‌ای از اثر منبع نیست.