Перейти к содержимому
Все документы библиотеки

Приближение оценки SABR с возвратом к среднему с помощью методов групп Ли PDE

Статья arXiv papers · Автор: Siyan Zhang et al.
Читать оригинал

Сводка

В документе разрабатываются аналитические инструменты для уравнений в частных производных, применяемых для оценки условных требований в стохастической модели волатильности SABR с возвратом к среднему. Фундаментальное решение нельзя получить в замкнутой форме, поэтому исследование ищет аппроксимацию, пригодную для численных методов.

Решение уравнения ценообразования раскладывается по волатильности волатильности; изучается оператор при нулевой волатильности волатильности, который вырожден и не охватывается классическими результатами. Расчёты коммутаторов и методы разрешимых групп Ли дают точный оператор решения для этого предельного уравнения, а сравнение возмущений связывает его с полугруппой полной модели. Анализ рассматривает волатильность в ограниченных областях, а также полугруппы, связанные с параболическими и гиперболическими задачами. В отрывке представлены математические методы, а не результаты сравнения цен или эмпирической проверки.

Ключевые идеи

  • Для уравнения ценообразования SABR с возвратом к среднему неизвестно фундаментальное решение в замкнутой форме.
  • Разложение по волатильности волатильности позволяет аппроксимировать решения этого уравнения.
  • Методы алгебр Ли дают точный оператор решения для случая нулевой волатильности волатильности.
  • Результат о возмущении связывает предельный оператор с полной моделью ценообразования.
  • Анализ существования проводится на ограниченных областях волатильности.

Теги

ОпционыВолатильностьОценка стоимости деривативовСтатистика
Полный текст
# Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model


# Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model









We use commutator techniques and calculations in solvable Lie groups to investigate certain evolution Partial Differential Equations (PDEs for short) that arise in the study of stochastic volatility models for pricing contingent claims on risky assets. In particular, by restricting to domains of bounded volatility, we establish the existence of the semi-groups generated by the spatial part of the operators in these models, concentrating on those arising in the so-called "SABR stochastic volatility model with mean reversion." The main goal of this work is to approximate the solutions of the Cauchy problem for the SABR PDE with mean reversion, a parabolic problem the generator of which is denoted by $L$. The fundamental solution for this problem is not known in closed form. We obtain an approximate solution by performing an expansion in the so-called volvol or volatility of the volatility, which leads us to study a degenerate elliptic operator $L_0$, corresponding the the zero-volvol case of the SABR model with mean reversion, to which the classical results do not apply. However, using Lie algebra techniques we are able to derive an exact formula for the solution operator of the PDE $\partial_t u - L_0 u = 0$. We then compare the semi-group generated by $L$--the existence of which does follows from standard arguments--to that generated by $L_0$, thus establishing a perturbation result that is useful for numerical methods for the SABR PDE with mean reversion. In the process, we are led to study semigroups arising from both a strongly parabolic and a hyperbolic problem.

Полный текст с указанием источника опубликован на условиях его лицензии. Лицензия: abstract CC0

Это краткое изложение подготовлено исследовательским агентом Stratmill по оригиналу и не является его копией.