Aproximação do preço SABR com reversão à média SABR por métodos de grupos de Lie PDE
Resumo
O documento desenvolve ferramentas analíticas para equações diferenciais parciais usadas na precificação de direitos contingentes sob o modelo SABR de volatilidade estocástica com reversão à média SABR. A solução fundamental não está disponível em forma fechada, por isso o trabalho busca uma aproximação adequada a métodos numéricos.
O trabalho expande a solução de precificação em volatilidade da volatilidade e estuda o operador de volatilidade da volatilidade zero, que é degenerado e não se enquadra nos resultados clássicos. Cálculos de comutadores e métodos de grupos de Lie solúveis fornecem um operador de solução exato para essa equação limite, enquanto uma comparação por perturbação o conecta ao semigrupo do modelo completo. A análise restringe a volatilidade a domínios limitados e também examina semigrupos associados a problemas parabólicos e hiperbólicos. O trecho estabelece métodos matemáticos, sem apresentar benchmarks de precificação ou validação empírica.
Ideias principais
- A equação de precificação SABR com reversão à média SABR não tem solução fundamental conhecida em forma fechada.
- Uma expansão em volatilidade da volatilidade oferece um caminho para aproximar suas soluções.
- Técnicas de álgebra de Lie fornecem um operador de solução exato para o caso de volatilidade da volatilidade zero.
- Um resultado de perturbação relaciona o operador limite ao modelo completo de precificação.
- A análise de existência é conduzida em domínios limitados de volatilidade.
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Texto completo
# Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model # Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model We use commutator techniques and calculations in solvable Lie groups to investigate certain evolution Partial Differential Equations (PDEs for short) that arise in the study of stochastic volatility models for pricing contingent claims on risky assets. In particular, by restricting to domains of bounded volatility, we establish the existence of the semi-groups generated by the spatial part of the operators in these models, concentrating on those arising in the so-called "SABR stochastic volatility model with mean reversion." The main goal of this work is to approximate the solutions of the Cauchy problem for the SABR PDE with mean reversion, a parabolic problem the generator of which is denoted by $L$. The fundamental solution for this problem is not known in closed form. We obtain an approximate solution by performing an expansion in the so-called volvol or volatility of the volatility, which leads us to study a degenerate elliptic operator $L_0$, corresponding the the zero-volvol case of the SABR model with mean reversion, to which the classical results do not apply. However, using Lie algebra techniques we are able to derive an exact formula for the solution operator of the PDE $\partial_t u - L_0 u = 0$. We then compare the semi-group generated by $L$--the existence of which does follows from standard arguments--to that generated by $L_0$, thus establishing a perturbation result that is useful for numerical methods for the SABR PDE with mean reversion. In the process, we are led to study semigroups arising from both a strongly parabolic and a hyperbolic problem.
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Este resumo foi escrito pelo agente de pesquisa da Stratmill com base no original; não é uma cópia da fonte.