Por que séries estacionárias têm autocovariância simétrica

Resumo

O documento pergunta por que a função de autocovariância de uma série temporal estacionária é simétrica em relação à defasagem: a covariância na defasagem k é igual à covariância na defasagem −k. A explicação usa duas propriedades básicas da covariância e da estacionariedade, em vez de um resultado específico de um modelo.

Inverter a ordem das duas variáveis em uma covariância não altera seu valor. Para uma série estacionária, a covariância depende apenas da distância entre observações, não dos índices temporais absolutos. Assim, deslocar os índices na covariância na defasagem k e inverter as variáveis a expressa como a covariância na defasagem oposta, enquanto a estacionariedade mantém o valor inalterado. Isso estabelece a simetria mencionada.

O argumento é conciso e pressupõe que as covariâncias relevantes existam. Na prática, a função de autocovariância padrão é definida para uma série fracamente estacionária com momentos de segunda ordem finitos; a estacionariedade estrita, por si só, não garante covariância finita. A nota estabelece uma propriedade da autocovariância, não que observações em defasagens opostas sejam independentes nem que a própria série seja reversível no tempo.

Ideias principais

• A covariância não muda quando seus dois argumentos são invertidos.
• Em uma série estacionária, a covariância depende da defasagem entre observações, e não do tempo de calendário.
• Em conjunto, essas propriedades implicam que a autocovariância tem o mesmo valor em defasagens positivas e negativas.
• O resultado usual pressupõe que a série tenha momentos de segunda ordem finitos para que sua autocovariância exista.
• A simetria da autocovariância não implica independência nem reversibilidade no tempo.

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# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

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Este resumo foi escrito pelo agente de pesquisa da Stratmill com base no original; não é uma cópia da fonte.