Verbindung rauer Volatilitätsmodelle mit Lévy-Sprungprozessen

Zusammenfassung

Diese Arbeit verbindet Modelle rauer Volatilität und Sprungmodelle durch Heston-Modelle mit Rückkehr zum Mittelwert, schneller Mittelwertrückkehr und hoher Volatilität der Volatilität. Sie beginnt mit hyperrauen Heston-Spezifikationen und konstruiert eine eindimensionale Familie markovscher Approximationen. Ein Zeitskalenparameter steuert die Rückkehrgeschwindigkeit und das damit verbundene Volatilitätsverhalten; außerdem lässt das Modell zu, dass der Hurst-Parameter außerhalb seines ursprünglichen Intervalls liegt.

Wenn sich die Zeitskala null annähert, leiten die Autoren abhängig vom Hurst-Parameter unterschiedliche explizite Grenzregime her. Bei Parameterwerten auf oder unter dem angegebenen Schwellenwert ist der Grenzfall eine Familie von Lévy-Sprungprozessen vom Typ Normal Inverse Gaussian. Numerische Beispiele zeigen, dass die Modelle mit Rückkehr zum Mittelwert At-the-Money-Volatilitätsschrägen erzeugen können, die denen rauer, hyperrauer und Sprungmodelle ähneln. Die beschriebenen Belege sind numerischer Art; Kalibrierungsergebnisse, eine Marktstichprobe oder ein empirischer Prognosevergleich werden nicht angegeben.

Kernaussagen

• Schnelle Mittelwertrückkehr und hohe Volatilität der Volatilität verbinden Modelle rauer Volatilität mit Sprungmodellen.
• Eine eindimensionale Heston-Familie mit Rückkehr zum Mittelwert approximiert hyperraue Heston-Dynamiken.
• Wenn sich die Zeitskala der Rückkehr zum Mittelwert null annähert, entstehen unterschiedliche Grenzregime.
• Für hinreichend niedrige Hurst-Parameterwerte ist der Grenzfall ein Lévy-Prozess vom Typ Normal Inverse Gaussian.
• Numerische Beispiele zeigen ähnliche At-the-Money-Schrägen in den Modellen mit Rückkehr zum Mittelwert sowie in den rauen, hyperrauen und Sprungmodellen.

Schlagwörter

# Reconciling rough volatility with jumps


# Reconciling rough volatility with jumps









We reconcile rough volatility models and jump models using a class of reversionary Heston models with fast mean reversions and large vol-of-vols. Starting from hyper-rough Heston models with a Hurst index $H \in (-1/2,1/2)$, we derive a Markovian approximating class of one dimensional reversionary Heston-type models. Such proxies encode a trade-off between an exploding vol-of-vol and a fast mean-reversion speed controlled by a reversionary time-scale $ε>0$ and an unconstrained parameter $H \in \mathbb R$. Sending $ε$ to 0 yields convergence of the reversionary Heston model towards different explicit asymptotic regimes based on the value of the parameter H. In particular, for $H \leq -1/2$, the reversionary Heston model converges to a class of Lévy jump processes of Normal Inverse Gaussian type. Numerical illustrations show that the reversionary Heston model is capable of generating at-the-money skews similar to the ones generated by rough, hyper-rough and jump models.

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