Existenz und Eindeutigkeit bei Lévy-Optionspreis-PIDEs

Zusammenfassung

Die Arbeit untersucht mehrdimensionale nichtlokale partielle Integro-Differentialgleichungen (PIDEs), die in Finanzmodellen mit Sprüngen verwendet werden. Sie wendet die abstrakte Theorie semilinearer parabolischer Gleichungen an, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen in Bessel-Potentialräumen nachzuweisen, und erweitert frühere Ergebnisse von einer räumlichen Dimension auf mehrere. Die Analyse umfasst eine breite Klasse von Lévy-Maßen, die Wachstumsbedingungen nahe null und im Unendlichen erfüllen.

Für die Optionspreisbildung betrachtet die Arbeit Black–Scholes-Modelle, deren Basiswerte Lévy-Prozessen mit Sprüngen folgen. Sie untersucht außerdem eine eindimensionale nichtlineare Anwendung zur Preisbildung, bei der eine Verschiebungsfunktion von der Aktienhandelsstrategie eines vorgegebenen Großinvestors abhängen kann. Die Ergebnisse weisen die Wohlgestelltheit dieses mathematischen Frameworks nach; das Dokument enthält weder einen numerischen Preisvergleich noch empirische Handelsbelege. Die angegebene Anwendung ist auf die beschriebenen Modellkonstellationen beschränkt.

Kernaussagen

• Die Analyse erweitert PIDE Existenz- und Eindeutigkeitsergebnisse von einer räumlichen Dimension auf mehrdimensionale Räume.
• Lösungen werden in einer Skala von Bessel-Potentialräumen untersucht.
• Das Framework berücksichtigt Lévy-Maße, die festgelegte Wachstumsbedingungen nahe dem Ursprung und im Unendlichen erfüllen.
• Die Anwendungen zur Optionspreisbildung verwenden sprungetriebene Lévy-Prozesse und umfassen eine nichtlineare Konstellation, die an die Handelsstrategie eines Großinvestors geknüpft ist.

Schlagwörter

# 2106.10498


# Multidimensional linear and nonlinear partial integro-differential equation in Bessel potential spaces with applications in option pricing









The purpose of this paper is to analyze solutions of a non-local nonlinear partial integro-differential equation (PIDE) in multidimensional spaces. Such class of PIDE often arises in financial modeling. We employ the theory of abstract semilinear parabolic equations in order to prove existence and uniqueness of solutions in the scale of Bessel potential spaces. We consider a wide class of Lévy measures satisfying suitable growth conditions near the origin and infinity. The novelty of the paper is the generalization of already known results in the one space dimension to the multidimensional case. We consider Black-Scholes models for option pricing on underlying assets following a Lévy stochastic process with jumps. As an application to option pricing in the one-dimensional space, we consider a general shift function arising from nonlinear option pricing models taking into account a large trader stock-trading strategy. We prove existence and uniqueness of a solution to the nonlinear PIDE in which the shift function may depend on a prescribed large investor stock-trading strategy function.

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