Importance Sampling für Heston-Optionspreise bei seltenen Ereignissen

Zusammenfassung

Dieses Paper entwickelt Importance-Sampling-Verfahren zur Bewertung europäischer Call-Optionen im stochastischen Volatilitätsmodell von Heston. Es betrachtet zwei Fälle, in denen gewöhnliche Monte-Carlo-Verfahren eine hohe Varianz aufweisen können: sehr kurze Laufzeiten und Ausübungspreise, die weit aus dem Geld liegen. Mithilfe einer Großabweichungsanalyse der kumulantenerzeugenden Funktion des Log-Preises wird eine zustandsabhängige Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes konstruiert, die seltene Preisereignisse in der Simulation wahrscheinlicher machen soll.

Für kurze Laufzeiten beweisen die Autoren logarithmische Effizienz, indem sie zeigen, dass die vorgeschlagene Drift die asymptotische Abnahmerate des zweiten Moments des Schätzers minimiert. Für weit aus dem Geld liegende Optionen führen sie eine Skalierung ein, bei der die Mean-Reversion der Varianz mit wachsender Log-Moneyness langsamer wird. Anschließend untersuchen sie die asymptotischen Eigenschaften der Methode mithilfe einer Riccati-Analyse. Numerische Experimente berichten in beiden Regimen von Varianzreduktionen um mehrere Größenordnungen gegenüber Standardschätzern. Diese Schlussfolgerungen gelten für die beschriebenen asymptotischen Fälle; der Auszug enthält keine Angaben zur Implementierung, zu Vergleichen konkreter Optionsmärkte oder zur Leistung außerhalb dieser Fälle.

Kernaussagen

• Die vorgeschlagenen Importance-Sampling-Verfahren zielen auf seltene Ereignisse mit hoher Varianz bei Heston-Optionen mit kurzer Laufzeit und weit aus dem Geld liegendem Ausübungspreis.
• Eine zustandsabhängige Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes wird aus dem Großabweichungsverhalten der Log-Preis-Verteilung hergeleitet.
• Für kurze Laufzeiten beweist das Paper die logarithmische Effizienz der vorgeschlagenen Drift.
• Für weit aus dem Geld liegende Optionen verwendet die Methode eine langsame Mean-Reversion der Varianz und eine spezielle Riccati-Analyse.
• Numerische Experimente berichten in beiden Regimen von deutlichen Varianzreduktionen gegenüber Standardschätzern.

Schlagwörter

# Efficient Importance Sampling under Heston Model: Short Maturity and Deep Out-of-the-Money Options


# Efficient Importance Sampling under Heston Model: Short Maturity and Deep Out-of-the-Money Options









This paper investigates asymptotically optimal importance sampling (IS) schemes for pricing European call options under the Heston stochastic volatility model. We focus on two distinct rare-event regimes where standard Monte Carlo methods suffer from significant variance deterioration: the limit as maturity approaches zero and the limit as the strike price tends to infinity. Leveraging the large deviation principle (LDP), we design a state-dependent change of measure derived from the asymptotic behavior of the log-price cumulant generating functions. In the short-maturity regime, we rigorously prove that our proposed IS drift, inspired by the variational characterization of the rate function, achieves logarithmic efficiency (asymptotic optimality) by minimizing the decay rate of the second moment of the estimator. In the deep OTM regime, we introduce a novel slow mean-reversion scaling for the variance process, where the mean-reversion speed scales as the inverse square of the small-noise parameter (defined as the reciprocal of the log-moneyness). We establish that under this specific scaling, the variance process contributes non-trivially to the large deviation rate function, requiring a specialized Riccati analysis to verify optimality. Numerical experiments demonstrate that the proposed method yields substantial variance reduction--characterized by factors exceeding several orders of magnitude--compared to standard estimators in both asymptotic regimes.

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