Systemische Ausfallansteckung mit einer nichtlinearen SPDE modellieren

Zusammenfassung

Diese Arbeit entwickelt ein dynamisches Mean-Field-Modell für systemische Risiken in einem großen Finanzsystem. Jede Institution wird durch eine Diffusion ihres Abstands zum Ausfall dargestellt, wobei null als absorbierende Grenze fungiert. Das Modell umfasst gemeinsames Rauschen als Abbildung geteilter Risiken oder Herdeneffekte, eine Mean-Reversion im Drift und endogene Ansteckung: Der Ausfall einer Institution kann die Abstände anderer Institutionen zum Ausfall verringern.

Das Grenzverhalten wird durch eine nichtlineare stochastische partielle Differentialgleichung auf der positiven Halbgeraden mit einer Randbedingung bei null charakterisiert. Ihre Dichte beschreibt das bedingte Gesetz der zugehörigen Diffusion; die Autoren geben außerdem eine in ihrer Analyse verwendete obere Schranke vom Typ eines Wärmeleitungskerns an. Bei bestimmten Realisierungen des gemeinsamen Rauschens und bestimmten Mean-Reversion-Raten kann das Modell einen raschen Anstieg des Wahrscheinlichkeitsmassenverlusts an der Grenze erzeugen, wobei die verlorene Masse Ausfällen entspricht, die sich zu Clustern häufen. Der Auszug beschreibt ein mathematisches Modell und theoretische Ergebnisse, berichtet jedoch weder eine empirische Kalibrierung noch eine Validierung anhand von Krisendaten oder Handelsanwendungen.

Kernaussagen

• Der Abstand von Institutionen zum Ausfall wird als Diffusion modelliert, die bei null absorbiert wird.
• Gemeinsames Rauschen und Mean-Reversion bilden geteilte Risiken und die Driftdynamik ab.
• Durch endogene Ansteckung kann ein Ausfall die Abstände anderer Institutionen zum Ausfall verringern.
• Eine nichtlineare SPDE charakterisiert den Mean-Field-Grenzfall und seine bedingte Dichte.
• Unter bestimmten Modellbedingungen führt ein rascher Wahrscheinlichkeitsmassenverlust an der Grenze zu einer beschleunigten Häufung von Ausfällen.

Schlagwörter

# An SPDE Model for Systemic Risk with Endogenous Contagion


# An SPDE Model for Systemic Risk with Endogenous Contagion









We propose a dynamic mean field model for `systemic risk' in large financial systems, which we derive from a system of interacting diffusions on the positive half-line with an absorbing boundary at the origin. These diffusions represent the distances-to-default of financial institutions and absorption at zero corresponds to default. As a way of modelling correlated exposures and herd behaviour, we consider a common source of noise and a form of mean-reversion in the drift. Moreover, we introduce an endogenous contagion mechanism whereby the default of one institution can cause a drop in the distances-to-default of the other institutions. In this way, we aim to capture key `system-wide' effects on risk. The resulting mean field limit is characterized uniquely by a nonlinear SPDE on the half-line with a Dirichlet boundary condition. The density of this SPDE gives the conditional law of a non-standard `conditional' McKean--Vlasov diffusion, for which we provide a novel upper Dirichlet heat kernel type estimate that is essential to the proofs. Depending on the realizations of the common noise and the rate of mean reversion, the SPDE can exhibit rapid accelerations in the loss of mass at the boundary. In other words, the contagion mechanism can give rise to periods of significant systemic default clustering.

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