Optimale Investition und optimaler Konsum in stochastischen Faktormodellen

Zusammenfassung

Diese Arbeit untersucht Investition und Konsum über einen unendlichen Zeithorizont für einen Anleger mit Potenznutzen in einem unvollständigen Markt, dessen Anlagechancen von einem stochastischen Faktor abhängen. Sie behandelt sowohl Faktoren mit endlichem Zustandsraum als auch als Itô-Diffusionen modellierte Faktoren und verknüpft die dynamische Portfolioentscheidung mit der Lösung einer Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung.

Für endliche Zustandsräume charakterisieren die Autoren, wann das Optimierungsproblem wohldefiniert ist, und geben ein numerisches Verfahren zur Berechnung der Wertfunktion an. Für Diffusionsfaktoren auf offenen Intervallen verwenden sie Unter- und Oberlösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung ohne vorgegebene Randwerte. Damit werden Existenz und explizite Grenzen nachgewiesen; eine asymptotische Analyse ermöglicht zudem eine rigorose Verifikation mehrerer Modelle, darunter Heston. Ein schnelles Diskretisierungsverfahren verknüpft das kontinuierliche Diffusionsproblem mit seinem Gegenstück mit endlichem Zustandsraum. Die Ergebnisse betreffen mathematische Existenz, Verifikation und Berechnung unter den angegebenen Modellannahmen. Sie liefern weder empirische Anlageergebnisse noch eine allgemeine Lösung für beliebige Marktdynamiken.

Kernaussagen

• Das Modell betrachtet Investition und Konsum über einen unendlichen Zeithorizont mit Potenznutzen in einem unvollständigen Markt.
• Stochastische Faktoren mit endlichem Zustandsraum ermöglichen eine Charakterisierung der Wohldefiniertheit und eine numerische Berechnung der Wertfunktion.
• Bei Diffusionsfaktoren auf offenen Intervallen helfen Unter- und Oberlösungen, Existenz und Grenzen ohne Randwerte nachzuweisen.
• Das asymptotische Verhalten stützt Verifikationsargumente für mehrere Modelle, darunter Heston.
• Ein schnelles Diskretisierungsverfahren verbindet diffusionsbasierte Probleme mit Näherungen mit endlichem Zustandsraum.

Schlagwörter

# Optimal Investment and Consumption in a Stochastic Factor Model


# Optimal Investment and Consumption in a Stochastic Factor Model









In this article, we study optimal investment and consumption in an incomplete stochastic factor model for a power utility investor on the infinite horizon. When the state space of the stochastic factor is finite, we give a complete characterisation of the well-posedness of the problem, and provide an efficient numerical algorithm for computing the value function. When the state space is a (possibly infinite) open interval and the stochastic factor is represented by an Itô diffusion, we develop a general theory of sub- and supersolutions for second-order ordinary differential equations on open domains without boundary values to prove existence of the solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation along with explicit bounds for the solution. By characterising the asymptotic behaviour of the solution, we are also able to provide rigorous verification arguments for various models, including -- for the first time -- the Heston model. Finally, we link the discrete and continuous setting and show that that the value function in the diffusion setting can be approximated very efficiently through a fast discretisation scheme.

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