Optionsrenditen, Wahrscheinlichkeiten positiver Renditen und Black–Scholes-Preisverzerrung

Zusammenfassung

Dieses Dokument untersucht im Black-Scholes-Modell die Wahrscheinlichkeit, dass eine europäische Call-Option eine positive Rendite erzielt. Demnach hängt diese Wahrscheinlichkeit sowohl von den Markteingaben des Modells als auch von der Wachstumsrate der Aktie ab. Die Autoren berichten, dass numerische Preisverzerrungen mit dieser Wachstumsrate zusammenhängen.

Die Autoren schlagen eine alternative Bewertung von Calls vor, die auf einem Gleichgewichtsargument und der Wahrscheinlichkeit einer positiven Rendite beruht. In ihrer numerischen Untersuchung sind Black-Scholes-Preise tendenziell höher als die alternativen Werte für aus dem Geld liegende Optionen und niedriger für im Geld liegende Optionen. Die Analyse ergibt außerdem einen bekannten Smile der impliziten Volatilität. Diese theoretischen Muster ähneln den beobachteten Black-Scholes-Anomalien. Die Beschreibung enthält jedoch weder einen empirischen Datensatz noch ein Schätzverfahren oder eine Validierung außerhalb der Stichprobe. Die vorgeschlagene Bewertungsmethode ist daher als theoretische Alternative zu verstehen, nicht als etablierter Ersatz für die Standardbewertung.

Kernaussagen

• Die Studie untersucht Wahrscheinlichkeiten positiver Renditen europäischer Calls unter Black-Scholes-Annahmen.
• Die berichtete Wahrscheinlichkeit hängt von den Markteingaben des Modells und der Wachstumsrate der Aktie ab.
• Eine vorgeschlagene Gleichgewichtsmethode bewertet Calls anhand ihrer Wahrscheinlichkeit positiver Renditen.
• Numerische Vergleiche zeigen unterschiedliche relative Preise für aus dem Geld und im Geld liegende Calls.
• Der beschriebene Smile der impliziten Volatilität und die Preismuster sind theoretische Ergebnisse.

Schlagwörter

# Probabilities of Positive Returns and Values of Call Options


# Probabilities of Positive Returns and Values of Call Options









The true probability of a European call option to achieve positive return is investigated under the Black-Scholes model. It is found that the probability is determined by those market factors appearing in the BS formula, besides the growth rate of stock price. Our numerical investigations indicate that the biases of BS formula is correlated with the growth rate of stock price. An alternative method to price European call option is proposed, which adopts an equilibrium argument to determine option price through the probability of positive return. It is found that the BS values are on average larger than the values of proposed method for out-of-the-money options, and smaller than the values of proposed method for in-the-money options. A typical smile shape of implied volatility is also observed in our numerical investigation. These theoretical observations are similar to the empirical anomalies of BS values, which indicates that the proposed valuation method may have some merit.

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