Stochastische Volatilität mit quadratischer Drift für stabile Optionsbewertung

Zusammenfassung

Dieses Paper stellt ein Ein-Faktor-Modell für stochastische Volatilität vor, in dem die momentane Volatilität einer Diffusion mit quadratischer Drift und linearer Dispersion folgt. Die Volatilität tendiert zu einem konstanten Niveau zurück, während die Geschwindigkeit dieser Mean-Reversion affin mit dem Volatilitätsniveau variiert. Die stationäre Verteilung der Modellvolatilität gehört zur Familie der verallgemeinerten inversen Gauß-Verteilungen.

Die Autoren argumentieren, dass die quadratische Drift dazu beiträgt, Momentenexplosionen zu verhindern und die Martingaleigenschaft des Aktienkurses zu erhalten. Außerdem verwenden sie eine Maßänderung, um das Modell mit polynomialen Diffusionen zu verknüpfen. Dieser Zusammenhang ermöglicht eine Näherung der Optionspreise anhand orthogonaler Polynomreihenentwicklungen, die das Paper als hochpräzise beschreibt. Die vorliegende Beschreibung erläutert theoretische Eigenschaften und ein Bewertungsverfahren, enthält aber weder numerische Benchmarks noch Kalibrierungsergebnisse oder Vergleiche mit anderen Bewertungsmethoden. Daher lässt sich die praktische Leistung allein anhand dieses Textes nicht beurteilen.

Kernaussagen

• Die momentane Volatilität wird als Diffusion mit quadratischer Drift und linearer Dispersion modelliert.
• Die Geschwindigkeit der Mean-Reversion verändert sich affin mit dem Volatilitätsniveau.
• Die stationäre Volatilitätsverteilung gehört zur Familie der verallgemeinerten inversen Gauß-Verteilungen.
• Die quadratische Drift soll Momentenexplosionen verhindern und die Martingaleigenschaft des Aktienkurses erhalten.
• Eine Maßänderung verknüpft das Modell mit polynomialen Diffusionen und ermöglicht Optionspreisnäherungen mit orthogonalen Polynomen.

Schlagwörter

# A lognormal type stochastic volatility model with quadratic drift


# A lognormal type stochastic volatility model with quadratic drift









This paper presents a novel one-factor stochastic volatility model where the instantaneous volatility of the asset log-return is a diffusion with a quadratic drift and a linear dispersion function. The instantaneous volatility mean reverts around a constant level, with a speed of mean reversion that is affine in the instantaneous volatility level. The steady-state distribution of the instantaneous volatility belongs to the class of Generalized Inverse Gaussian distributions. We show that the quadratic term in the drift is crucial to avoid moment explosions and to preserve the martingale property of the stock price process. Using a conveniently chosen change of measure, we relate the model to the class of polynomial diffusions. This remarkable relation allows us to develop a highly accurate option price approximation technique based on orthogonal polynomial expansions.

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