Optionsbewertung bei kurzen Laufzeiten und schneller Mean Reversion der Volatilität

Zusammenfassung

Diese Arbeit untersucht die Optionsbewertung bei kurzen Laufzeiten, die jedoch im Verhältnis zur Mean-Reversion-Zeit eines stochastischen Volatilitätsfaktors lang sind. Sie behandelt das Problem als Mittelungs- oder Homogenisierungsproblem für nichtlineare Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichungen, wobei sich ein schneller Faktor über einen nichtkompakten Zustandsraum entwickelt.

Die Autoren entwickeln ein allgemeines Argument mithilfe von Viskositätslösungen und wenden es auf zwei Regime an. Sie leiten ein Großabweichungsprinzip her und verwenden es, um asymptotische Preise für Calls und Puts aus dem Geld sowie deren implizite Volatilitäten zu bestimmen. Das Abstract spezifiziert die beiden Regime nicht näher und berichtet keine numerischen Tests. Es stellt die Ergebnisse als Verallgemeinerung früherer Arbeiten dar, die erzeugende Funktionen für das Heston-Modell verwendeten. Die Anwendbarkeit hängt daher von den Annahmen der Regime und des Modells ab; eine universelle Bewertungsgenauigkeit wird nicht belegt.

Kernaussagen

• Die Analyse betrachtet Laufzeiten, die kurz sind, aber die Mean-Reversion-Zeitskala des Volatilitätsfaktors überschreiten.
• Der schnelle stochastische Volatilitätsfaktor wird mithilfe eines Mittelungsproblems für eine nichtlineare HJB-Gleichung behandelt.
• Methoden für Viskositätslösungen stützen das Argument, wenn die schnelle Variable in einem nichtkompakten Raum liegt.
• Ein Großabweichungsprinzip liefert asymptotische Preise und implizite Volatilitäten für Calls und Puts aus dem Geld.
• Der Rahmen erweitert ein zuvor für das Heston-Modell mithilfe erzeugender Funktionen erzieltes Ergebnis.

Schlagwörter

# Small-time asymptotics for fast mean-reverting stochastic volatility models


# Small-time asymptotics for fast mean-reverting stochastic volatility models









In this paper, we study stochastic volatility models in regimes where the maturity is small, but large compared to the mean-reversion time of the stochastic volatility factor. The problem falls in the class of averaging/homogenization problems for nonlinear HJB-type equations where the "fast variable" lives in a noncompact space. We develop a general argument based on viscosity solutions which we apply to the two regimes studied in the paper. We derive a large deviation principle, and we deduce asymptotic prices for out-of-the-money call and put options, and their corresponding implied volatilities. The results of this paper generalize the ones obtained in Feng, Forde and Fouque [SIAM J. Financial Math. 1 (2010) 126-141] by a moment generating function computation in the particular case of the Heston model.

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