Symmetriereduktionen und Lösungen für Hedging in illiquiden Märkten

Zusammenfassung

Diese mathematische Studie untersucht ein allgemeines Modell für selbstfinanzierendes Hedging in illiquiden Märkten, das ursprünglich von Schoenbucher und Wilmott eingeführt wurde. Im Modell erfüllen Hedgingstrategien eine nichtlineare partielle Differentialgleichung, deren Koeffizientenfunktion mit der Nutzenfunktion eines Anlegers verknüpft ist. Die Autoren verwenden Lie-Symmetrieanalyse, um die Symmetrien der Gleichung zu charakterisieren und sie auf gewöhnliche Differentialgleichungen zu reduzieren.

Die Arbeit klassifiziert Koeffizientenfunktionen, die zusätzliche Symmetrien zulassen, verknüpft drei daraus entstehende Sonderfälle mit früheren Modellen oder einem neuen Fall und leitet optimale Unteralgebra-Systeme sowie Reduktionen für das allgemeine und das neue Sondermodell her. Außerdem liefert sie explizite Lösungen für den neuen Sonderfall, darunter Lösungen für Potenzderivatprodukte. Dies sind analytische Ergebnisse zur Modellstruktur und Lösbarkeit. Die vorliegende Beschreibung berichtet weder empirische Tests und Marktdaten noch Evidenz dafür, dass die Lösungen das praktische Hedging verbessern. Die Darstellung ist daher vor allem für das Verständnis des theoretischen Rahmens und seiner Reduktionen nützlich; die Anwendbarkeit in der realen Welt bleibt ungeprüft.

Kernaussagen

• Selbstfinanzierende Hedgingstrategien erfüllen im Modell eine nichtlineare PDE mit einem an den Nutzen gekoppelten Koeffizienten.
• Lie-Symmetrieanalyse beschreibt Symmetrien und reduziert die PDE auf gewöhnliche Differentialgleichungen.
• Die Arbeit klassifiziert Koeffizientenfunktionen, die erweiterte Symmetrien erlauben, und verknüpft Sonderfälle mit früheren Modellen.
• Für ein neues Sondermodell werden explizite Lösungen hergeleitet, darunter Lösungen für Potenzderivatprodukte.
• Der beschriebene Beitrag ist mathematischer Art; eine empirische Auswertung wird nicht berichtet.

Schlagwörter

# Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions


# Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions









We study the general model of self-financing trading strategies in illiquid markets introduced by Schoenbucher and Wilmott, 2000. A hedging strategy in the framework of this model satisfies a nonlinear partial differential equation (PDE) which contains some function g(alpha). This function is deep connected to an utility function. We describe the Lie symmetry algebra of this PDE and provide a complete set of reductions of the PDE to ordinary differential equations (ODEs). In addition we are able to describe all types of functions g(alpha) for which the PDE admits an extended Lie group. Two of three special type functions lead to models introduced before by different authors, one is new. We clarify the connection between these three special models and the general model for trading strategies in illiquid markets. We study with the Lie group analysis the new special case of the PDE describing the self-financing strategies. In both, the general model and the new special model, we provide the optimal systems of subalgebras and study the complete set of reductions of the PDEs to different ODEs. In all cases we are able to provide explicit solutions to the new special model. In one of the cases the solutions describe power derivative products.

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