Symmetrische Autokovarianz stationärer Zeitreihen

Zusammenfassung

Das Dokument fragt, warum die Autokovarianzfunktion einer stationären Zeitreihe symmetrisch bezüglich ihres Lags ist: Die Kovarianz beim Lag k entspricht der Kovarianz beim Lag −k. Die Erklärung stützt sich auf zwei grundlegende Eigenschaften von Kovarianz und Stationarität und nicht auf ein bestimmtes Modell.

Eine Umkehrung der Reihenfolge zweier Variablen in einer Kovarianz ändert deren Wert nicht. Bei einer stationären Reihe hängt die Kovarianz nur vom Abstand zwischen Beobachtungen ab, nicht von ihren absoluten Zeitindizes. Verschiebt man also die Indizes der Kovarianz beim Lag k und vertauscht die Variablen, erhält man die Kovarianz beim entgegengesetzten Lag; aufgrund der Stationarität bleibt ihr Wert gleich. Damit ist die angegebene Symmetrie gezeigt.

Das Argument ist knapp und setzt voraus, dass die betreffenden Kovarianzen existieren. In der Praxis wird die übliche Autokovarianzfunktion für eine schwach stationäre Reihe mit endlichen zweiten Momenten definiert; strikte Stationarität allein garantiert keine endliche Kovarianz. Die Notiz zeigt eine Eigenschaft der Autokovarianz, nicht dass Beobachtungen bei entgegengesetzten Lags unabhängig oder die Reihe selbst zeitumkehrbar sind.

Kernaussagen

• Die Kovarianz bleibt unverändert, wenn ihre beiden Argumente vertauscht werden.
• Bei einer stationären Reihe hängt die Kovarianz vom Lag zwischen den Beobachtungen ab, nicht von ihrer Kalenderzeit.
• Zusammen implizieren diese Eigenschaften, dass die Autokovarianz bei positiven und negativen Lags denselben Wert hat.
• Das übliche Ergebnis setzt endliche zweite Momente der Reihe voraus, damit ihre Autokovarianz existiert.
• Symmetrie der Autokovarianz bedeutet weder Unabhängigkeit noch Zeitumkehrbarkeit.

Schlagwörter

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

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