定常時系列の自己共分散が対称な理由

サマリー

この文書では、定常時系列の自己共分散関数がラグについて対称、つまりラグ k の共分散がラグ −k の共分散に等しいのはなぜかを説明します。モデル固有の結果ではなく、共分散と定常性の基本的な性質を二つ用いています。

共分散では、二つの変数の順序を入れ替えても値は変わりません。定常系列では、共分散は観測値の絶対的な時点ではなく、観測値間の隔たりだけに依存します。したがって、ラグ k の共分散の時点をずらして変数の順序を入れ替えると、反対のラグの共分散として表せますが、定常性により値は変わりません。これにより、述べられた対称性が示されます。

この議論は簡潔で、対象となる共分散が存在することを前提としています。実務上、標準的な自己共分散関数は、二次モーメントが有限な弱定常系列について定義されます。狭義定常性だけでは、有限の共分散は保証されません。このノートが示すのは自己共分散の性質であり、反対のラグにある観測値が独立であることや、系列自体が時間反転可能であることを主張するものではありません。

主なアイデア

• 共分散は、二つの引数の順序を入れ替えても変わりません。
• 定常系列では、共分散は暦上の時点ではなく、観測値間のラグに依存します。
• この二つの性質から、自己共分散は正負のラグで同じ値になることが導かれます。
• 通常の結果は、自己共分散が存在するよう、系列の二次モーメントが有限であることを前提とします。
• 自己共分散の対称性は、独立性や時間反転可能性を意味しません。

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# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

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