Limites funcionais de processos de Hawkes por dispersão de eventos descendentes

Resumo

Este artigo examina limites de escala de longo prazo para processos de Hawkes, cujos resultados são determinados pelo número médio e pela dispersão dos eventos descendentes. Para processos subcríticos, estabelece leis funcionais dos grandes números e teoremas do limite central sob premissas relativamente fracas sobre o núcleo de excitação. Os limites resultantes dependem do grau de dispersão dos eventos descendentes.

No regime crítico, descendentes pouco dispersos não seguem o comportamento funcional usual do limite central: as intensidades reescaladas se aproximam de um processo do tipo CIR sem reversão à média, e as contagens reescaladas se aproximam de sua integral. O artigo apresenta um limite baseado na distância de Wasserstein para a taxa dessa convergência. Com descendentes muito dispersos, os processos críticos preservam teoremas do limite funcional, mas apresentam dependência de longo alcance. Esses são resultados teóricos sobre a escala dos processos; o documento não relata uma estratégia de trading nem um teste empírico de mercado.

Ideias principais

• O número médio e a dispersão dos eventos descendentes determinam propriedades importantes de longo prazo dos processos de Hawkes.
• Processos subcríticos admitem leis funcionais dos grandes números e teoremas do limite central sob condições mínimas para o núcleo.
• Processos críticos com descendentes pouco dispersos têm limites do tipo CIR em vez do comportamento funcional padrão do limite central.
• Processos críticos com descendentes muito dispersos satisfazem teoremas do limite funcional e apresentam dependência de longo alcance.
• Um limite de Wasserstein quantifica a convergência para o limite crítico de baixa dispersão.

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# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes


# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes









We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.

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Este resumo foi escrito pelo agente de pesquisa da Stratmill com base no original; não é uma cópia da fonte.