O coeficiente de cointegração em pares de preços logarítmicos
Resumo
O documento examina o significado do coeficiente em uma relação de cointegração de preços logarítmicos para uma operação de pares. Compara interpretar o coeficiente como uma razão entre quantidades de ações ou como uma razão entre valores de mercado, e explica por que essas interpretações levam a cálculos diferentes de dimensionamento da posição e de retorno.
Uma resposta argumenta que multiplicar o preço de uma ação por uma constante mantém inalteradas suas variações percentuais e, portanto, não altera o coeficiente ajustado, mas muda o intercepto. Como o número de ações necessário para representar determinado valor de mercado muda, isso sustenta interpretar o coeficiente como um peso de valor de mercado. Outra resposta aponta que as variações de preços logarítmicos representam taxas de crescimento e alerta que os retornos de cada perna não podem ser simplesmente somados quando o capital investido é diferente; o lucro total deve ser comparado ao capital total aplicado. A discussão é breve e apresenta afirmações conflitantes, sem uma derivação completa nem uma orientação geral de trading. A interpretação prática também depende da definição explícita do spread e da carteira.
Ideias principais
- Uma relação de cointegração entre preços logarítmicos usa um coeficiente que não muda quando uma série de preços é multiplicada por uma constante.
- Essa invariância de escala sustenta interpretar o coeficiente como exposição relativa ao valor de mercado, e não como quantidade bruta de ações.
- Variações de preços logarítmicos descrevem movimentos proporcionais, então os retornos de cada perna devem ser combinados considerando o capital investido.
- A discussão não reconcilia completamente as interpretações divergentes nem especifica uma regra universal de dimensionamento.
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# What does the cointegration coefficient represent in pairs trading when cointegrating log stock prices? # What does the cointegration coefficient represent in pairs trading when cointegrating log stock prices? In Pairs Trading by Vidyamurthy, on page 83 (and throughout the book), the author describes an elementary example of trading with log prices. The long run equilibrium of the basic portfolio is given by $$ \log(p_t^A) - \gamma \log(p_t^B) = \mu $$ where $p_t^A$ and $p_t^B$ represent the prices of stocks $A$ and $B$ at time $t$, respectively, and $\gamma$ is the cointegration coefficient. When using these log prices, Vidyamurthy uses the cointegration coefficient ($\gamma$) to indicate the ratio of shares to hold rather than market values of positions (as stated should be the case here, for example). My questions are: > What is the correct practical interpretation of $\gamma$ when cointegrating log prices, should it represent the ratio of shares or the ratio of market values? If the latter, why does Vidyamurthy use the former interpretation throughout his book? Could both be valid? Here is the example from the book: ## Answer by Artem Korol (score 1) https://quant.stackexchange.com/a/21284 Firstly i think if you use log prices then γ shows by how much B stock growth rate outpaces A stock growth rate, but I don't understand why Ernie says that you need to hold market values fixed, if you do this then how are you going to profit from the spread? Secondly there are typos in the return calculation: log(20.1)-log(19.5) = 0.03 not 0.3. Which refers to the 3% return on the A leg trade. B leg return is indeed 5.6% (assuming cc returns), however it is incorrect to sum these return to get 9% return on the total trade, since they were obtained from different amounts of capital. The return from A leg is 0.6USD and return from B leg is 0.29USD*1.5 = 0.435USD thus the total return is 1.035USD which we divide by the total capital deployed in the trade at time t, 19.5+1.5*7.46 = 30.69$, so 1.035/30.69 = 0.0337 and this is the real return on this trade, not 9%. ## Answer by Jason Huang (score 1) https://quant.stackexchange.com/a/39613 It should mean market values (instead of shares). You can see this more obviously by creating an "artificial stock" (stock C) which price equals the price of stock B divided by 10,000 (same fluctuation rate, but just much smaller absolute price). Now the co integration coefficient would not change because C and B have the same variation rate (it would only affect the intercept, mu). If the cointegration coefficient means the shares ratio, then it would not make sense because now C occupy too little of your portfolio. It would only make sense as market values.
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