Analytische Bewertung von FX-Optionen in reflektierenden Zielzonen

Zusammenfassung

Diese Notiz entwickelt einen didaktischen Ansatz zur Bewertung von Devisenoptionen, wenn der Wechselkurs auf eine Zielzone mit erreichbaren, reflektierenden Grenzen beschränkt ist. Sie erläutert eine Arbitragefreiheitsimplikation dieser Situation: Die Differenz zwischen ausländischen und inländischen kurzfristigen Zinssätzen kann nicht deterministisch sein. Bei einer engen Bandbreite lässt sich der Wechselkursprozess aus rechnerischen Gründen wählen, sofern die Wahl eine handhabbare Lösung ermöglicht.

Bei einer geeigneten Spezifikation des Prozesses lässt sich die partielle Differentialgleichung für die Bewertung analytisch lösen. Werte europäischer Optionen können dann als schnell konvergierende Reihen elementarer Funktionen dargestellt werden. Die Notiz skizziert den allgemeinen Lösungsansatz und gibt konkrete Beispiele, darunter mittelwertrückkehrende Modelle jenseits des Ornstein-Uhlenbeck-Falls. Im Mittelpunkt steht die modellbasierte Bewertung, nicht die empirische Prüfung oder Handelsleistung. Die Ergebnisse hängen von den Annahmen zur Zielzone und der gewählten Prozessdynamik ab. Vor einer Anwendung der Formeln muss daher geprüft werden, ob diese Annahmen zum Markt und zum bewerteten Kontrakt passen.

Kernaussagen

• Die Notiz untersucht FX-Optionen bei erreichbaren und reflektierenden Grenzen der Wechselkurszielzone.
• Arbitragefreiheit verlangt in dieser Situation, dass die Differenz zwischen ausländischen und inländischen kurzfristigen Zinssätzen nicht deterministisch ist.
• Bei einer engen Bandbreite können rechnerisch praktische Wechselkursprozesse analytische Bewertungslösungen ermöglichen.
• Werte europäischer Optionen werden als schnell konvergierende Reihen dargestellt, mit Beispielen für mittelwertrückkehrende Modelle jenseits des Ornstein-Uhlenbeck-Falls.

Schlagwörter

# FX Options in Target Zone


# FX Options in Target Zone









In this note we discuss - in what is intended to be a pedagogical fashion - FX option pricing in target zones with attainable boundaries. The boundaries must be reflecting. The no-arbitrage requirement implies that the differential (foreign minus domestic) short-rate is not deterministic. When the band is narrow, we can pick the functional form of the FX rate process based on computational convenience. With a thoughtful choice, the FX option pricing problem can be solved analytically. The European option prices are expressed via (fast converging) series of elementary functions. We discuss the general approach to solving the pricing PDE and explicit examples, including analytically tractable models with (non-Ornstein-Uhlenbeck) mean-reversion.

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