Generalisierte temperierte stabile Verteilungen an Finanzrenditen anpassen

Zusammenfassung

Dieses Paper stellt ein Verfahren zur Schätzung der sieben Parameter einer generalisierten temperierten stabilen Verteilung vor, wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsdichte kein verfügbarer mathematischer Ausdruck vorliegt. Dadurch eignet sich die direkte Maximum-Likelihood-Schätzung nicht. Stattdessen verwendet der Ansatz die charakteristische Funktion der Verteilung zusammen mit der fraktionalen Fourier-Transformation, um Parameterschätzungen zu erhalten.

Das Verfahren wird auf Bitcoin- und Ethereum-Renditen mit stark ausgeprägten Verteilungsschwänzen sowie auf Renditen des S&P 500 und des SPY ETF mit stark zugespitzten Verteilungen angewendet. Die Anpassungsgüte wird anhand der Kolmogorov-Smirnov-, Anderson-Darling- und Pearson-Chi-Quadrat-Statistik bewertet. Die berichteten Ergebnisse sprechen für das GTS-Modell gegenüber einer Hypothese geometrischer Brownscher Bewegung mit zwei Parametern und mehreren alternativen Verteilungen. Die lokale Parameterschätzung bildet eine Ausnahme von der berichteten statistischen Signifikanz der übrigen sechs Parameter. Diese Schlussfolgerungen beziehen sich auf die untersuchten Datensätze und Vergleiche. Die Beschreibung nennt weder Stichprobenzeiträume noch Sensitivitätsprüfungen oder Belege dafür, dass die Verteilung über die Anpassungsgüte hinaus für Prognosen oder Bewertungen geeignet ist.

Kernaussagen

• Die Dichte der Verteilung GTS hat keinen geschlossenen mathematischen Ausdruck, was die direkte Maximum-Likelihood-Schätzung erschwert.
• Das vorgeschlagene Schätzverfahren kombiniert die charakteristische Funktion mit der fraktionalen Fourier-Transformation.
• Das Verfahren wird auf Kryptowährungs- und Aktienrenditen mit unterschiedlichen Verteilungsformen angewendet.
• Mehrere Anpassungsgüte-Tests vergleichen die geschätzte Verteilung mit Alternativen.
• Die berichtete Anpassung ist bei den untersuchten Daten gut, doch der lokale Parameter ist statistisch nicht signifikant.

Schlagwörter

# Fitting the seven-parameter Generalized Tempered Stable distribution to the financial data


# Fitting the seven-parameter Generalized Tempered Stable distribution to the financial data









The paper proposes and implements a methodology to fit a seven-parameter Generalized Tempered Stable (GTS) distribution to financial data. The nonexistence of the mathematical expression of the GTS probability density function makes the maximum likelihood estimation (MLE) inadequate for providing parameter estimations. Based on the function characteristic and the fractional Fourier transform (FRFT), we provide a comprehensive approach to circumvent the problem and yield a good parameter estimation of the GTS probability. The methodology was applied to fit two heavily tailed data (Bitcoin and Ethereum returns) and two peaked data (S\&P 500 and SPY ETF returns). For each index, the estimation results show that the six-parameter estimations are statistically significant except for the local parameter, $μ$. The goodness-of-fit was assessed through Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, and Pearson's chi-squared statistics. While the two-parameter geometric Brownian motion (GBM) hypothesis is always rejected, the GTS distribution fits significantly with a very high p-value; and outperforms the Kobol, Carr-Geman-Madan-Yor, and Bilateral Gamma distributions.

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