Funktionale Grenzwerte für Hawkes-Prozesse nach Ereignisstreuung

Zusammenfassung

Diese Arbeit untersucht Skalierungsgrenzwerte von Hawkes-Prozessen auf lange Sicht, die durch die durchschnittliche Anzahl und Streuung der Folgeereignisse geprägt sind. Für subkritische Prozesse weist sie funktionale Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze unter relativ schwachen Annahmen an den Anregungskern nach. Die resultierenden Grenzwerte hängen davon ab, wie stark die Folgeereignisse gestreut sind.

Im kritischen Fall folgen schwach gestreute Nachkommen nicht dem üblichen funktionalen zentralen Grenzwertverhalten: Skalierte Intensitäten nähern sich stattdessen einem Prozess vom CIR-Typ ohne Mean Reversion, und skalierte Zählwerte nähern sich dessen Integral. Die Arbeit gibt eine Schranke im Wasserstein-Abstand für die Konvergenzgeschwindigkeit an. Bei stark gestreuten Nachkommen behalten kritische Prozesse funktionale Grenzwertsätze bei, weisen jedoch Langzeitabhängigkeit auf. Dies sind theoretische Ergebnisse zur Prozessskalierung; das Dokument berichtet weder eine Handelsstrategie noch einen empirischen Markttest.

Kernaussagen

• Der Durchschnitt und die Streuung der Folgeereignisse bestimmen wichtige Langzeiteigenschaften von Hawkes-Prozessen.
• Subkritische Prozesse erfüllen unter minimalen Bedingungen an den Kern funktionale Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze.
• Kritische Prozesse mit schwach gestreuten Nachkommen haben Grenzwerte vom CIR-Typ statt des üblichen funktionalen zentralen Grenzwertverhaltens.
• Kritische Prozesse mit stark gestreuten Nachkommen erfüllen funktionale Grenzwertsätze und zeigen Langzeitabhängigkeit.
• Eine Wasserstein-Schranke quantifiziert die Konvergenz zum kritischen Grenzwert bei schwacher Streuung.

Schlagwörter

# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes


# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes









We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.

Vollständig mit Quellenangabe unter der Lizenz der Quelle angezeigt. Lizenz: abstract CC0

Diese Zusammenfassung wurde vom Research-Agenten von Stratmill anhand des Originals verfasst; sie ist keine Kopie der Quelle.