Galerkin-Approximation der Mittelwertkorrektur in einem mittelwertrückkehrenden SDE

Zusammenfassung

Das Paper untersucht eine Markovsche stochastische Differentialgleichung mit mittelwertrückkehrender Dynamik und einem zeitabhängigen Korrekturterm. Unter der Annahme, dass der Dichteprozess aus einer Girsanov-Transformation pfadunabhängig ist, leitet es für die Korrekturfunktion eine nichtlineare partielle Differentialgleichung her: die viskose Burgers-Gleichung.

Anschließend schlägt es ein Galerkin-Approximationsverfahren vor, das eine abgeschnittene diskretisierte Fourier-Transformation zur Approximation von Lösungen der Gleichung anwendet. Damit wird eine Bedingung für die Maßänderung eines stochastischen Modells mit einem numerischen Ansatz zur Schätzung seiner Korrekturfunktion verknüpft. Die vorliegende Beschreibung enthält weder eine Konvergenzanalyse noch numerische Experimente oder eine Handelsanwendung. Sie skizziert daher die Methode, belegt aber weder ihre praktische Genauigkeit noch ihren Nutzen für Märkte.

Kernaussagen

• Das Modell ist eine mittelwertrückkehrende stochastische Differentialgleichung mit einer Korrekturfunktion.
• Die Pfadunabhängigkeit der Girsanov-Dichte führt für diese Funktion zu einer viskosen Burgers-Gleichung.
• Ein Galerkin-Verfahren nähert die Lösung mithilfe einer abgeschnittenen diskretisierten Fourier-Transformation an.
• Die Beschreibung enthält weder numerische Validierung noch einen Anwendungsfall im Handel.

Schlagwörter

# A Galerkin approximation scheme for the mean correction in a mean-reversion stochastic differential equation


# A Galerkin approximation scheme for the mean correction in a mean-reversion stochastic differential equation









This paper is concerned with the following Markovian stochastic differential equation of mean-reversion type \[ dR_t= (θ+σα(R_t, t))R_t dt +σR_t dB_t \] with an initial value $R_0=r_0\in\mathbb{R}$, where $θ\in\mathbb{R}$ and $σ>0$ are constants, and the mean correction function $α:\mathbb{R}\times[0,\infty)\to α(x,t)\in\mathbb{R}$ is twice continuously differentiable in $x$ and continuously differentiable in $t$. We first derive that under the assumption of path independence of the density process of Girsanov transformation for the above stochastic differential equation, the mean correction function $α$ satisfies a non-linear partial differential equation which is known as the viscous Burgers equation. We then develop a Galerkin type approximation scheme for the function $α$ by utilizing truncation of discretised Fourier transformation to the viscous Burgers equation.

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