子イベントの分散度によるホークス過程の関数極限
記事 arXiv papers · 著者: Ulrich Horst et al.
サマリー
この論文では、子イベントの平均数と分散度によって結果が変わるホークス過程の長期スケーリング極限を調べています。劣臨界過程については、励起カーネルに比較的弱い仮定を置き、関数型大数の法則と中心極限定理を確立しています。得られる極限は、子イベントの分散度によって異なります。
臨界状態では、分散度の低い子イベントは通常の関数型中心極限定理に従いません。再スケーリングした強度は平均回帰性のないCIR型過程に近づき、再スケーリングした計数過程はその積分に近づきます。論文は、この収束速度に対するワッサースタイン距離の上界を示しています。分散度の高い子イベントの場合、臨界過程は関数型極限定理を保ちながら長期依存性を示します。これらは過程のスケーリングに関する理論的結果であり、文書ではトレード戦略や市場データによる実証検定を報告していません。
主なアイデア
- 子イベントの平均数と分散度が、ホークス過程の主要な長期特性を決めます。
- 劣臨界過程では、カーネルに比較的弱い条件を置いて関数型大数の法則と中心極限定理が成り立ちます。
- 分散度の低い子イベントを持つ臨界過程は、通常の関数型中心極限定理の代わりにCIR型の極限を持ちます。
- 分散度の高い子イベントを持つ臨界過程は関数型極限定理を満たし、長期依存性を示します。
- ワッサースタイン距離の上界で、分散度の低い臨界極限への収束を定量化しています。
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全文
# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes # Functional Limit Theorems for Hawkes Processes We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.
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