Pourquoi l’autocovariance d’une série stationnaire est symétrique

Résumé

Le document demande pourquoi la fonction d’autocovariance d’une série temporelle stationnaire est symétrique par rapport au décalage : la covariance au décalage k est égale à celle au décalage −k. L’explication s’appuie sur deux propriétés fondamentales de la covariance et de la stationnarité, et non sur un résultat propre à un modèle.

Inverser l’ordre des deux variables dans une covariance ne change pas sa valeur. Pour une série stationnaire, la covariance dépend uniquement de l’écart entre les observations et non de leurs indices temporels absolus. Ainsi, décaler les indices dans la covariance au décalage k et inverser les variables l’exprime comme la covariance au décalage opposé, tandis que la stationnarité laisse sa valeur inchangée. Cela établit la symétrie indiquée.

L’argument est concis et suppose que les covariances pertinentes existent. En pratique, la fonction d’autocovariance usuelle est définie pour une série faiblement stationnaire ayant des moments d’ordre deux finis ; la stationnarité stricte seule ne garantit pas une covariance finie. La note établit une propriété de l’autocovariance, sans affirmer que les observations aux décalages opposés sont indépendantes ou que la série elle-même est réversible dans le temps.

Idées clés

• La covariance ne change pas lorsque ses deux arguments sont inversés.
• Pour une série stationnaire, la covariance dépend du décalage entre les observations plutôt que de leur date calendaire.
• Ensemble, ces propriétés impliquent que l’autocovariance a la même valeur aux décalages positifs et négatifs.
• Le résultat usuel suppose que la série a des moments d’ordre deux finis, afin que son autocovariance existe.
• La symétrie de l’autocovariance n’implique ni indépendance ni réversibilité temporelle.

Étiquettes

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

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