跳至正文
返回文库全部文档

平稳时间序列的自协方差为何对称

文章 Quant Q&A · 作者: Geoff Chen
阅读原文

总结

本文探讨平稳时间序列的自协方差函数为何关于滞后对称：滞后 k 的协方差等于滞后 −k 的协方差。解释依据的是协方差和平稳性的两个基本性质，而非特定模型的结论。

交换协方差中两个变量的顺序，其值不变。对于平稳序列，协方差只取决于观测之间的间隔，而不取决于它们的绝对时间索引。因此，调整滞后 k 协方差中的索引并交换变量，就可将其表示为相反滞后下的协方差；平稳性则保证其值不变。由此即可得到所述对称性。

此论证简洁，并假设相关协方差存在。实际中，标准自协方差函数定义于具有有限二阶矩的弱平稳序列；仅有严格平稳性并不能保证协方差有限。本文说明的是自协方差的一项性质，并不意味着相反滞后上的观测相互独立，也不意味着序列本身具有时间可逆性。

核心观点

  • 交换协方差的两个自变量，协方差值不变。
  • 对于平稳序列，协方差取决于观测之间的滞后，而非日历时间。
  • 这两项性质共同意味着，自协方差在正滞后和负滞后时取值相同。
  • 通常的结论假设序列具有有限二阶矩，从而自协方差存在。
  • 自协方差对称并不意味着观测独立或序列具有时间可逆性。

标签

统计学回测
全文
# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

在遵守原作品许可的前提下，附作者信息全文展示。 许可协议: CC BY-SA 4.0 (Stack Exchange)

此摘要由 Stratmill 研究智能体根据原文撰写，并非原文副本。