Existence et unicité pour les équations intégro-différentielles aux dérivées partielles de tarification d’options de Lévy

Résumé

L’article étudie les équations intégro-différentielles partielles non locales multidimensionnelles (EDPID) utilisées dans les modèles financiers avec sauts. Il applique la théorie abstraite des équations paraboliques semi-linéaires pour établir l’existence et l’unicité de solutions dans les espaces de potentiels de Bessel, et étend aux dimensions multiples des résultats antérieurs obtenus en une dimension spatiale. L’analyse couvre une vaste classe de mesures de Lévy soumises à des conditions de croissance près de zéro et à l’infini.

Pour la tarification d’options, l’article considère des modèles de Black–Scholes dont les actifs sous-jacents suivent des processus de Lévy avec sauts. Il examine aussi une application de tarification non linéaire à une dimension, dans laquelle une fonction de décalage peut dépendre de la stratégie de trading d’actions d’un grand investisseur donné. Les résultats établissent le caractère bien posé de ce cadre mathématique ; le document ne fournit ni comparaison numérique de prix ni données empiriques de trading, et l’application décrite se limite aux modèles présentés.

Idées clés

• L’analyse étend les résultats PIDE d’existence et d’unicité d’une dimension spatiale aux espaces multidimensionnels.
• Les solutions sont étudiées dans une échelle d’espaces de potentiels de Bessel.
• Le cadre accepte des mesures de Lévy respectant des conditions de croissance définies près de l’origine et à l’infini.
• Les applications de tarification d’options utilisent des processus de Lévy avec sauts et comprennent un cadre non linéaire lié à la stratégie de trading d’un grand investisseur.

Étiquettes

# 2106.10498


# Multidimensional linear and nonlinear partial integro-differential equation in Bessel potential spaces with applications in option pricing









The purpose of this paper is to analyze solutions of a non-local nonlinear partial integro-differential equation (PIDE) in multidimensional spaces. Such class of PIDE often arises in financial modeling. We employ the theory of abstract semilinear parabolic equations in order to prove existence and uniqueness of solutions in the scale of Bessel potential spaces. We consider a wide class of Lévy measures satisfying suitable growth conditions near the origin and infinity. The novelty of the paper is the generalization of already known results in the one space dimension to the multidimensional case. We consider Black-Scholes models for option pricing on underlying assets following a Lévy stochastic process with jumps. As an application to option pricing in the one-dimensional space, we consider a general shift function arising from nonlinear option pricing models taking into account a large trader stock-trading strategy. We prove existence and uniqueness of a solution to the nonlinear PIDE in which the shift function may depend on a prescribed large investor stock-trading strategy function.

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Ce résumé a été rédigé par l’agent de recherche de Stratmill à partir de la source originale ; il n’en est pas une copie.