Limites fonctionnelles des processus de Hawkes selon la dispersion des événements descendants

Résumé

Cet article examine les limites d’échelle à long terme des processus de Hawkes, déterminées par le nombre moyen et la dispersion des événements descendants. Pour les processus sous-critiques, il établit des lois fonctionnelles des grands nombres et des théorèmes limites centraux sous des hypothèses relativement faibles sur le noyau d’excitation. Les limites obtenues dépendent du degré de dispersion des événements descendants.

Au seuil critique, les descendants faiblement dispersés ne suivent pas le comportement fonctionnel habituel du théorème limite central : les intensités redimensionnées convergent plutôt vers un processus de type CIR sans retour à la moyenne, et les nombres d’événements redimensionnés vers son intégrale. L’article établit une borne de distance de Wasserstein pour la vitesse de cette convergence. Avec des descendants fortement dispersés, les processus critiques conservent des théorèmes limites fonctionnels, mais présentent une dépendance à longue portée. Il s’agit de résultats théoriques sur le changement d’échelle des processus ; le document ne rapporte ni stratégie de trading ni test empirique sur des marchés.

Idées clés

• Le nombre moyen et la dispersion des événements descendants déterminent des propriétés essentielles à long terme des processus de Hawkes.
• Les processus sous-critiques admettent des lois fonctionnelles des grands nombres et des théorèmes limites centraux sous des conditions minimales sur le noyau.
• Les processus critiques avec des descendants faiblement dispersés ont des limites de type CIR au lieu du comportement fonctionnel standard du théorème limite central.
• Les processus critiques avec des descendants fortement dispersés satisfont des théorèmes limites fonctionnels et présentent une dépendance à longue portée.
• Une borne de Wasserstein quantifie la convergence vers la limite critique en cas de faible dispersion.

Étiquettes

# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes


# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes









We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.

Reproduit dans son intégralité avec attribution, conformément à la licence de la source. Licence: abstract CC0

Ce résumé a été rédigé par l’agent de recherche de Stratmill à partir de la source originale ; il n’en est pas une copie.