Approximation du modèle SABR à retour à la moyenne pour la valorisation PDE par les méthodes des groupes de Lie
Résumé
Le document développe des outils analytiques pour les équations aux dérivées partielles servant à évaluer des créances conditionnelles sous le modèle de volatilité stochastique SABR à retour vers la moyenne. La solution fondamentale n’étant pas disponible sous forme fermée, le travail cherche une approximation adaptée aux méthodes numériques.
Il développe la solution de tarification en fonction de la volatilité de la volatilité et étudie l’opérateur à volatilité de la volatilité nulle, qui est dégénéré et échappe aux résultats classiques. Des calculs de commutateurs et des méthodes de groupes de Lie résolubles donnent un opérateur de solution exact pour cette équation limite, tandis qu’une comparaison par perturbation la relie au semi-groupe du modèle complet. L’analyse limite la volatilité à des domaines bornés et examine aussi des semi-groupes associés à des problèmes paraboliques et hyperboliques. L’extrait établit des méthodes mathématiques, sans présenter de références de tarification ni de validation empirique.
Idées clés
- L’équation de tarification SABR à retour vers la moyenne ne dispose pas de solution fondamentale connue sous forme fermée.
- Un développement en fonction de la volatilité de la volatilité permet d’approcher ses solutions.
- Les techniques d’algèbre de Lie fournissent un opérateur de solution exact dans le cas de volatilité de la volatilité nulle.
- Un résultat de perturbation relie l’opérateur limite au modèle de tarification complet.
- L’analyse d’existence est menée sur des domaines de volatilité bornés.
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Texte intégral
# Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model # Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model We use commutator techniques and calculations in solvable Lie groups to investigate certain evolution Partial Differential Equations (PDEs for short) that arise in the study of stochastic volatility models for pricing contingent claims on risky assets. In particular, by restricting to domains of bounded volatility, we establish the existence of the semi-groups generated by the spatial part of the operators in these models, concentrating on those arising in the so-called "SABR stochastic volatility model with mean reversion." The main goal of this work is to approximate the solutions of the Cauchy problem for the SABR PDE with mean reversion, a parabolic problem the generator of which is denoted by $L$. The fundamental solution for this problem is not known in closed form. We obtain an approximate solution by performing an expansion in the so-called volvol or volatility of the volatility, which leads us to study a degenerate elliptic operator $L_0$, corresponding the the zero-volvol case of the SABR model with mean reversion, to which the classical results do not apply. However, using Lie algebra techniques we are able to derive an exact formula for the solution operator of the PDE $\partial_t u - L_0 u = 0$. We then compare the semi-group generated by $L$--the existence of which does follows from standard arguments--to that generated by $L_0$, thus establishing a perturbation result that is useful for numerical methods for the SABR PDE with mean reversion. In the process, we are led to study semigroups arising from both a strongly parabolic and a hyperbolic problem.
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Ce résumé a été rédigé par l’agent de recherche de Stratmill à partir de la source originale ; il n’en est pas une copie.