Modèle d’Ornstein-Uhlenbeck quintique pour calibrer conjointement les sourires SPX et VIX

Résumé

Ce document décrit un modèle de volatilité stochastique dans lequel la volatilité est un polynôme de degré cinq d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck unique, à retour rapide vers la moyenne, et présentant une forte volatilité de la volatilité. Le modèle est conçu pour ajuster conjointement les sourires de volatilité SPX et VIX, à l’aide d’un petit ensemble de paramètres effectifs et d’une courbe d’entrée pour faire correspondre certaines structures par terme. Les auteurs étudient également d’autres spécifications de la courbe d’entrée et des paramètres variant dans le temps afin d’améliorer les ajustements pour les échéances supérieures à un an.

La conception informatique du modèle facilite la tarification pratique : le carré de VIX est un polynôme de l’état d’Ornstein-Uhlenbeck, ce qui permet de tarifer les dérivés VIX par intégration selon une densité gaussienne. La volatilité peut être simulée exactement, tandis que les dérivés SPX peuvent être évalués par des méthodes de Monte-Carlo utilisant des techniques de réduction de variance. L’extrait fait état d’une forte capacité d’ajustement conjoint, mais ne fournit ni données de calibration, ni mesures d’erreur, ni comparaison avec des modèles concurrents ; la qualité et la généralité des ajustements ne peuvent donc pas être évaluées ici.

Idées clés

• La volatilité est modélisée comme un polynôme de degré cinq d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck unique.
• Le modèle est conçu pour calibrer conjointement les sourires SPX et VIX avec un paramétrage compact.
• D’autres courbes d’entrée et des paramètres variant dans le temps peuvent aider à ajuster les structures par terme et les échéances plus longues.
• La forme polynomiale de VIX au carré permet de tarifer efficacement les dérivés VIX.
• La simulation exacte de la volatilité et la méthode de Monte-Carlo avec réduction de variance sont proposées pour les applications de tarification.

Étiquettes

# The quintic Ornstein-Uhlenbeck volatility model that jointly calibrates SPX & VIX smiles


# The quintic Ornstein-Uhlenbeck volatility model that jointly calibrates SPX & VIX smiles









The quintic Ornstein-Uhlenbeck volatility model is a stochastic volatility model where the volatility process is a polynomial function of degree five of a single Ornstein-Uhlenbeck process with fast mean reversion and large vol-of-vol. The model is able to achieve remarkable joint fits of the SPX-VIX smiles with only 6 effective parameters and an input curve that allows to match certain term structures. We provide several practical specifications of the input curve, study their impact on the joint calibration problem and consider additionally time-dependent parameters to help achieve better fits for longer maturities going beyond 1 year. Even better, the model remains very simple and tractable for pricing and calibration: the VIX squared is again polynomial in the Ornstein-Uhlenbeck process, leading to efficient VIX derivative pricing by a simple integration against a Gaussian density; simulation of the volatility process is exact; and pricing SPX products derivatives can be done efficiently and accurately by standard Monte Carlo techniques with suitable antithetic and control variates.

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Ce résumé a été rédigé par l’agent de recherche de Stratmill à partir de la source originale ; il n’en est pas une copie.