Évaluation d’options à courte échéance dans des modèles de volatilité stochastique à retour rapide à la moyenne

Résumé

Cet article étudie l’évaluation d’options dont l’échéance est courte, mais reste longue par rapport au temps de retour à la moyenne d’un facteur de volatilité stochastique. Il traite le problème comme un problème de moyennisation ou d’homogénéisation pour des équations non linéaires de Hamilton–Jacobi–Bellman, où un facteur rapide évolue sur un espace d’états non compact.

Les auteurs développent un argument général à l’aide de solutions de viscosité et l’appliquent à deux régimes. Ils établissent un principe de grandes déviations et l’utilisent pour obtenir des prix asymptotiques de calls et de puts hors de la monnaie, ainsi que leurs volatilités implicites. Le résumé ne précise pas les deux régimes en détail et ne rapporte aucun test numérique. Il présente les résultats comme une généralisation de travaux antérieurs ayant utilisé les fonctions génératrices des moments pour le modèle de Heston ; l’applicabilité dépend donc des hypothèses des régimes et du modèle, sans établir une précision universelle de l’évaluation.

Idées clés

• L’analyse porte sur des échéances courtes, mais supérieures à l’échelle temporelle du retour à la moyenne du facteur de volatilité.
• Le facteur de volatilité stochastique rapide est traité par un problème de moyennisation pour une équation HJB non linéaire.
• Les méthodes de solutions de viscosité étayent l’argument lorsque la variable rapide évolue dans un espace non compact.
• Un principe de grandes déviations permet d’obtenir les prix asymptotiques et les volatilités implicites de calls et de puts hors de la monnaie.
• Le cadre étend un résultat obtenu précédemment pour le modèle de Heston à l’aide de fonctions génératrices des moments.

Étiquettes

# Small-time asymptotics for fast mean-reverting stochastic volatility models


# Small-time asymptotics for fast mean-reverting stochastic volatility models









In this paper, we study stochastic volatility models in regimes where the maturity is small, but large compared to the mean-reversion time of the stochastic volatility factor. The problem falls in the class of averaging/homogenization problems for nonlinear HJB-type equations where the "fast variable" lives in a noncompact space. We develop a general argument based on viscosity solutions which we apply to the two regimes studied in the paper. We derive a large deviation principle, and we deduce asymptotic prices for out-of-the-money call and put options, and their corresponding implied volatilities. The results of this paper generalize the ones obtained in Feng, Forde and Fouque [SIAM J. Financial Math. 1 (2010) 126-141] by a moment generating function computation in the particular case of the Heston model.

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