Réductions par symétrie et solutions de couverture sur les marchés illiquides

Résumé

Cette étude mathématique analyse un modèle général de couverture autofinancée sur les marchés illiquides, initialement présenté par Schoenbucher et Wilmott. Dans ce modèle, les stratégies de couverture satisfont une équation aux dérivées partielles non linéaire, dont la fonction de coefficient est liée à la fonction d’utilité d’un investisseur. Les auteurs utilisent l’analyse des symétries de Lie pour caractériser les symétries de l’équation et la réduire à des équations différentielles ordinaires.

L’article classe les fonctions de coefficient qui permettent des symétries supplémentaires, relie trois cas particuliers qui en résultent à des modèles antérieurs ou à un nouveau cas, et établit des systèmes de sous-algèbres optimaux et des réductions pour les modèles général et nouveau cas particulier. Il fournit aussi des solutions explicites pour ce nouveau cas particulier, notamment des solutions décrivant des produits dérivés de puissance. Il s’agit de résultats analytiques sur la structure et la résolution du modèle ; la description fournie ne rapporte ni tests empiriques, ni données de marché, ni éléments montrant que les solutions améliorent les résultats pratiques de couverture. Le texte est donc surtout utile pour comprendre le cadre théorique et ses réductions, sans évaluer son applicabilité réelle.

Idées clés

• Dans le modèle, les stratégies de couverture autofinancées satisfont une équation aux dérivées partielles non linéaire PDE, dont le coefficient est lié à l’utilité.
• L’analyse des symétries de Lie décrit les symétries et réduit l’équation aux dérivées partielles PDE à des équations différentielles ordinaires.
• L’article classe les fonctions de coefficient autorisant des symétries étendues et relie des cas particuliers à des modèles antérieurs.
• Des solutions explicites sont établies pour un nouveau modèle particulier, dont des solutions pour des produits dérivés de puissance.
• La contribution décrite est mathématique ; aucune évaluation empirique n’est rapportée.

Étiquettes

# Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions


# Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions









We study the general model of self-financing trading strategies in illiquid markets introduced by Schoenbucher and Wilmott, 2000. A hedging strategy in the framework of this model satisfies a nonlinear partial differential equation (PDE) which contains some function g(alpha). This function is deep connected to an utility function. We describe the Lie symmetry algebra of this PDE and provide a complete set of reductions of the PDE to ordinary differential equations (ODEs). In addition we are able to describe all types of functions g(alpha) for which the PDE admits an extended Lie group. Two of three special type functions lead to models introduced before by different authors, one is new. We clarify the connection between these three special models and the general model for trading strategies in illiquid markets. We study with the Lie group analysis the new special case of the PDE describing the self-financing strategies. In both, the general model and the new special model, we provide the optimal systems of subalgebras and study the complete set of reductions of the PDEs to different ODEs. In all cases we are able to provide explicit solutions to the new special model. In one of the cases the solutions describe power derivative products.

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