Quand l’allocation de Kelly reste stable avec une dynamique Bitcoin en loi de puissance

Résumé

Le document déduit comment la fraction de Kelly en temps continu évolue lorsque le prix à long terme d’un actif suit une loi de puissance et que la variance de ses rendements diminue au fil du temps. Avec un rendement sans risque nul, l’allocation dépend de l’exposant de croissance, de l’échelle de volatilité et du taux de décroissance de la variance. Elle est invariante dans le temps uniquement lorsque ce taux prend une valeur particulière ; sinon, la fraction optimale varie avec l’ancienneté de l’actif.

Les auteurs estiment les exposants de prix et de volatilité à partir de l’historique quotidien du Bitcoin, en examinant des estimations de volatilité sur des fenêtres glissantes de quatre à neuf ans. Leur estimation moyenne est proche de la référence théorique, mais le chevauchement des fenêtres fait de leur dispersion une mesure de la sensibilité du modèle plutôt qu’un intervalle de confiance. Ils proposent aussi une explication par mise à l’échelle faisant intervenir la participation au réseau, la liquidité et la volatilité, et montrent qu’une contribution supplémentaire à la variance, variable dans le temps et illustrée par la variabilité des frais de transaction, peut rompre l’invariance. Les estimations du Bitcoin et l’explication par mise à l’échelle dépendent d’hypothèses de modélisation et ne démontrent pas que l’allocation de Kelly restera stable sur les marchés futurs.

Idées clés

• La fraction de Kelly varie dans le temps, sauf si l’exposant de décroissance de la volatilité atteint la condition d’invariance du modèle.
• Les estimations de volatilité du Bitcoin sur des fenêtres glissantes constituent un contrôle de sensibilité, et non un intervalle de confiance formel.
• Une relation de mise à l’échelle proposée relie la participation au réseau et la liquidité effective à la baisse de la volatilité.
• Une source supplémentaire de variance des rendements, variable dans le temps, peut rompre la stabilité prévue de l’allocation.

Étiquettes

# Asymptotic Invariance of Kelly Allocation Under Power-Law Asset Dynamics: Evidence from Bitcoin


# Asymptotic Invariance of Kelly Allocation Under Power-Law Asset Dynamics: Evidence from Bitcoin









We examine log-optimal portfolio allocation when the long-run price of an asset follows a power-law trajectory, $P(t)=At^α$, and its instantaneous return variance decays as $σ^2(t)=σ_0^2 t^{-2γ}$. Under a zero risk-free-rate benchmark, the continuous-time Kelly fraction scales as $K^\ast(t)=(α/σ_0^2)t^{2γ-1}$. Exact temporal invariance therefore occurs when $γ=1/2$, whereas deviations from this value produce systematic age dependence in the allocation. We propose a scaling hypothesis connecting growth in network participation, effective market liquidity, and declining volatility. Under a specified set of scaling assumptions, this model predicts the benchmark exponent $γ=1/2$. Using historical daily Bitcoin prices, we estimate the power-law price exponent and examine the sensitivity of the volatility exponent to the length of the rolling window. For windows of four to nine years, the estimated volatility exponents have an arithmetic mean of 0.53 and a cross-window standard deviation of approximately 0.03. Because these estimates are obtained from overlapping observations and the same underlying price history, this spread is interpreted as a measure of model sensitivity rather than a formal confidence interval. Finally, we show that a time-dependent multiplicative contribution to return variance generally breaks exact Kelly invariance. We illustrate this result using a scenario in which Bitcoin transaction-fee variability affects the effective variance process. The results identify the conditions under which log-optimal allocation can remain stable under non-stationary power-law asset dynamics and clarify the assumptions required when applying this result to Bitcoin.

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Ce résumé a été rédigé par l’agent de recherche de Stratmill à partir de la source originale ; il n’en est pas une copie.