Investissement et consommation optimaux dans des modèles à facteurs stochastiques

Résumé

Ce travail étudie l’investissement et la consommation à horizon infini d’un investisseur à utilité puissance sur un marché incomplet dont les possibilités dépendent d’un facteur stochastique. Il traite à la fois les facteurs à états finis et ceux modélisés par des diffusions d’Itô, et relie le choix dynamique de portefeuille à la résolution d’une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman.

Pour les espaces d’états finis, les auteurs caractérisent les conditions de bonne formulation du problème d’optimisation et proposent une méthode numérique pour calculer sa fonction de valeur. Pour les facteurs de diffusion sur des intervalles ouverts, ils utilisent des méthodes de sous-solutions et de sursolutions pour des équations différentielles ordinaires du second ordre sans valeurs aux limites prescrites. Cela établit l’existence et des bornes explicites, tandis que l’analyse asymptotique permet une vérification rigoureuse pour plusieurs modèles, dont Heston. Un schéma rapide de discrétisation relie le problème de diffusion continue à son équivalent à états finis. Les résultats portent sur l’existence mathématique, la vérification et le calcul sous les hypothèses du modèle indiqué ; ils ne donnent ni performances d’investissement empiriques ni solution générale pour des dynamiques de marché arbitraires.

Idées clés

• Le modèle étudie l’investissement et la consommation à horizon infini avec utilité puissance sur un marché incomplet.
• Les facteurs stochastiques à états finis permettent de caractériser la bonne formulation du problème et de calculer numériquement la fonction de valeur.
• Pour les facteurs de diffusion sur des intervalles ouverts, les sous-solutions et sursolutions aident à établir l’existence et des bornes sans valeurs aux limites.
• Le comportement asymptotique étaye les arguments de vérification pour plusieurs modèles, dont Heston.
• Un schéma rapide de discrétisation relie les problèmes fondés sur des diffusions aux approximations à états finis.

Étiquettes

# Optimal Investment and Consumption in a Stochastic Factor Model


# Optimal Investment and Consumption in a Stochastic Factor Model









In this article, we study optimal investment and consumption in an incomplete stochastic factor model for a power utility investor on the infinite horizon. When the state space of the stochastic factor is finite, we give a complete characterisation of the well-posedness of the problem, and provide an efficient numerical algorithm for computing the value function. When the state space is a (possibly infinite) open interval and the stochastic factor is represented by an Itô diffusion, we develop a general theory of sub- and supersolutions for second-order ordinary differential equations on open domains without boundary values to prove existence of the solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation along with explicit bounds for the solution. By characterising the asymptotic behaviour of the solution, we are also able to provide rigorous verification arguments for various models, including -- for the first time -- the Heston model. Finally, we link the discrete and continuous setting and show that that the value function in the diffusion setting can be approximated very efficiently through a fast discretisation scheme.

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