Límites funcionales de procesos de Hawkes según la dispersión de eventos

Resumen

Este artículo examina los límites de escala a largo plazo de los procesos de Hawkes, cuyos resultados dependen del número medio y la dispersión de los eventos secundarios. Para procesos subcríticos, establece leyes funcionales de los grandes números y teoremas del límite central bajo supuestos relativamente débiles sobre el núcleo de excitación. Los límites resultantes dependen de la dispersión de los eventos secundarios.

En el caso crítico, la descendencia con poca dispersión no sigue el comportamiento funcional habitual del límite central: las intensidades reescaladas se aproximan a un proceso de tipo CIR sin reversión a la media, y los recuentos reescalados se aproximan a su integral. El artículo ofrece una cota basada en la distancia de Wasserstein para la velocidad de esta convergencia. Con descendencia muy dispersa, los procesos críticos conservan los teoremas funcionales del límite, pero presentan dependencia de largo alcance. Se trata de resultados teóricos sobre la escala de los procesos; el documento no presenta una estrategia de trading ni una prueba empírica de mercado.

Ideas clave

• El promedio y la dispersión de los eventos secundarios determinan propiedades clave a largo plazo de los procesos de Hawkes.
• Los procesos subcríticos admiten leyes funcionales de los grandes números y teoremas del límite central con condiciones mínimas sobre el núcleo.
• Los procesos críticos con descendencia poco dispersa tienen límites de tipo CIR en lugar del comportamiento funcional estándar del límite central.
• Los procesos críticos con descendencia muy dispersa satisfacen teoremas funcionales del límite y muestran dependencia de largo alcance.
• Una cota de Wasserstein cuantifica la convergencia al límite crítico con poca dispersión.

Etiquetas

# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes


# Functional Limit Theorems for Hawkes Processes









We prove that the long-run behavior of Hawkes processes is fully determined by the average number and the dispersion of child events. For subcritical processes we provide FLLNs and FCLTs under minimal conditions on the kernel of the process with the precise form of the limit theorems depending strongly on the dispersion of child events. For a critical Hawkes process with weakly dispersed child events, functional central limit theorems do not hold. Instead, we prove that the rescaled intensity processes and rescaled Hawkes processes behave like CIR-processes without mean-reversion, respectively integrated CIR-processes. We provide the rate of convergence by establishing an upper bound on the Wasserstein distance between the distributions of rescaled Hawkes process and the corresponding limit process. By contrast, critical Hawkes process with heavily dispersed child events share many properties of subcritical ones. In particular, functional limit theorems hold. However, unlike subcritical processes critical ones with heavily dispersed child events display long-range dependencies.

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Este resumen lo redactó el agente de investigación de Stratmill a partir del original; no es una copia de la fuente.