Aproximación de Galerkin a la corrección de la media en un SDE con reversión a la media

Resumen

El artículo estudia una ecuación diferencial estocástica markoviana con dinámica de reversión a la media y un término de corrección dependiente del tiempo. Bajo el supuesto de que el proceso de densidad de una transformación de Girsanov es independiente de la trayectoria, deriva una ecuación diferencial parcial no lineal para esa función de corrección: la ecuación de Burgers viscosa.

A continuación, propone un esquema de aproximación de Galerkin que aplica una transformada de Fourier discretizada y truncada para aproximar las soluciones de la ecuación. Esto conecta una condición sobre el cambio de medida de un modelo estocástico con un método numérico para estimar su función de corrección. La descripción proporcionada no incluye análisis de convergencia, experimentos numéricos ni una aplicación al trading, por lo que presenta el esquema del método, pero no demuestra su precisión práctica ni su utilidad en los mercados.

Ideas clave

• El modelo es una ecuación diferencial estocástica con reversión a la media y una función de corrección.
• La independencia de la trayectoria de la densidad de Girsanov conduce a una ecuación de Burgers viscosa para esa función.
• Un esquema de Galerkin aproxima la solución mediante una transformada de Fourier discretizada y truncada.
• La descripción no presenta validación numérica ni un caso de uso en trading.

Etiquetas

# A Galerkin approximation scheme for the mean correction in a mean-reversion stochastic differential equation


# A Galerkin approximation scheme for the mean correction in a mean-reversion stochastic differential equation









This paper is concerned with the following Markovian stochastic differential equation of mean-reversion type \[ dR_t= (θ+σα(R_t, t))R_t dt +σR_t dB_t \] with an initial value $R_0=r_0\in\mathbb{R}$, where $θ\in\mathbb{R}$ and $σ>0$ are constants, and the mean correction function $α:\mathbb{R}\times[0,\infty)\to α(x,t)\in\mathbb{R}$ is twice continuously differentiable in $x$ and continuously differentiable in $t$. We first derive that under the assumption of path independence of the density process of Girsanov transformation for the above stochastic differential equation, the mean correction function $α$ satisfies a non-linear partial differential equation which is known as the viscous Burgers equation. We then develop a Galerkin type approximation scheme for the function $α$ by utilizing truncation of discretised Fourier transformation to the viscous Burgers equation.

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Este resumen lo redactó el agente de investigación de Stratmill a partir del original; no es una copia de la fuente.