Por qué una serie temporal estacionaria tiene autocovarianza simétrica

Resumen

El documento pregunta por qué la función de autocovarianza de una serie temporal estacionaria es simétrica respecto al retardo: la covarianza en el retardo k es igual a la del retardo −k. La explicación utiliza dos propiedades básicas de la covarianza y la estacionariedad, en lugar de un resultado específico de un modelo.

Invertir el orden de las dos variables en una covarianza no cambia su valor. En una serie estacionaria, la covarianza depende solo de la separación entre observaciones, no de sus índices temporales absolutos. Así, desplazar los índices de la covarianza en el retardo k e invertir las variables la expresa como la covarianza en el retardo opuesto, mientras que la estacionariedad mantiene el mismo valor. Esto demuestra la simetría indicada.

El argumento es conciso y presupone que existen las covarianzas pertinentes. En la práctica, la función de autocovarianza habitual se define para una serie débilmente estacionaria con momentos finitos de segundo orden; la estacionariedad estricta por sí sola no garantiza una covarianza finita. La nota establece una propiedad de la autocovarianza, no afirma que las observaciones en retardos opuestos sean independientes ni que la serie sea reversible en el tiempo.

Ideas clave

• La covarianza no cambia al invertir sus dos argumentos.
• En una serie estacionaria, la covarianza depende del retardo entre observaciones, no de su tiempo absoluto.
• En conjunto, estas propiedades implican que la autocovarianza tiene el mismo valor en retardos positivos y negativos.
• El resultado habitual presupone que la serie tiene momentos finitos de segundo orden para que exista su autocovarianza.
• La simetría de la autocovarianza no implica independencia ni reversibilidad temporal.

Etiquetas

# Auto-covariance function of station time series


# Auto-covariance function of station time series












How to show that for any stationary time series its auto-covariance function is symmetric about the origin, that is $\gamma_{k}=\gamma_{-k}$ where, $\gamma_k=cov(z_t,z_{t-k})$

## Answer by mark leeds (score 3)

https://quant.stackexchange.com/a/42958

Hi: Subtract $k$ from $z_t$ and add $k$ to $z_{t-k}$. Then you have $cov(z_{t-k,} z_{t})$ which by definition is $\gamma_{-k}$. But, by stationarity, this has to be equal to $cov(z_{t}, z_{t-k})= \gamma_{k}$ because the covariance is only a function of the lag difference.

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Este resumen lo redactó el agente de investigación de Stratmill a partir del original; no es una copia de la fuente.