Aproximación de la ecuación de valoración SABR con reversión a la media mediante métodos de grupos de Lie PDE

Resumen

El documento desarrolla herramientas analíticas para ecuaciones en derivadas parciales utilizadas para valorar derechos contingentes bajo el modelo de volatilidad estocástica SABR con reversión a la media. La solución fundamental no está disponible en forma cerrada, por lo que el trabajo busca una aproximación adecuada para métodos numéricos.

Desarrolla la solución de valoración en potencias de la volatilidad de la volatilidad y estudia el operador de volatilidad de la volatilidad nula, que es degenerado y queda fuera del alcance de los resultados clásicos. Los cálculos de conmutadores y los métodos de grupos de Lie resolubles producen un operador de solución exacto para esta ecuación límite, mientras que una comparación por perturbaciones lo conecta con el semigrupo del modelo completo. El análisis restringe la volatilidad a dominios acotados y también examina semigrupos asociados a problemas parabólicos e hiperbólicos. El fragmento establece métodos matemáticos, pero no informa de referencias de valoración ni validación empírica.

Ideas clave

• La ecuación de valoración SABR con reversión a la media no tiene una solución fundamental conocida en forma cerrada.
• Un desarrollo en potencias de la volatilidad de la volatilidad ofrece una vía para aproximar sus soluciones.
• Las técnicas de álgebra de Lie proporcionan un operador de solución exacto para el caso de volatilidad de la volatilidad nula.
• Un resultado de perturbación relaciona el operador límite con el modelo de valoración completo.
• El análisis de existencia se lleva a cabo en dominios de volatilidad acotados.

Etiquetas

# Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model


# Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR Stochastic Volatility Model









We use commutator techniques and calculations in solvable Lie groups to investigate certain evolution Partial Differential Equations (PDEs for short) that arise in the study of stochastic volatility models for pricing contingent claims on risky assets. In particular, by restricting to domains of bounded volatility, we establish the existence of the semi-groups generated by the spatial part of the operators in these models, concentrating on those arising in the so-called "SABR stochastic volatility model with mean reversion." The main goal of this work is to approximate the solutions of the Cauchy problem for the SABR PDE with mean reversion, a parabolic problem the generator of which is denoted by $L$. The fundamental solution for this problem is not known in closed form. We obtain an approximate solution by performing an expansion in the so-called volvol or volatility of the volatility, which leads us to study a degenerate elliptic operator $L_0$, corresponding the the zero-volvol case of the SABR model with mean reversion, to which the classical results do not apply. However, using Lie algebra techniques we are able to derive an exact formula for the solution operator of the PDE $\partial_t u - L_0 u = 0$. We then compare the semi-group generated by $L$--the existence of which does follows from standard arguments--to that generated by $L_0$, thus establishing a perturbation result that is useful for numerical methods for the SABR PDE with mean reversion. In the process, we are led to study semigroups arising from both a strongly parabolic and a hyperbolic problem.

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